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《二叉树“防塌”指南：AVL 树如何用旋转 “稳住” 平衡？》

news 2025/10/20 8:12:30

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AVL树的结构

AVL树的插入

1.右单旋

2.左单旋，和右单旋类似

1.左右双旋

同理，右左双旋完全类似

检查这是不是AVL树

中序遍历

计算AVL树有多少个节点

find查找

普通的二叉搜索树BST没有平衡限制，可能退化成单支树，O（n），因此引入平衡二叉搜索树，效率变为O（log N）

AVL树：是一颗平衡的二叉搜索树。如果有左右子树的话，它的左右子树也是AVL树，且左右子树的高度差不为不超过1，通过控制高度差来控制平衡。

那该如何控制？

引入了平衡因子，即右子树高度-左子树高度，即AVL树的任何一个节点的平衡因子为0/-1/+1

AVL树的结构

AVL是一个三叉链表，包括指向左孩子的节点指针，右孩子指针，parent指针（方便回溯），并引入平衡因子bf

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;//节点存储的值int _bf;//平衡因子AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){ }
};template<class K,class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:private:Node* _root = nullptr;
};

AVL树的插入

插入节点的步骤和二叉搜索树的插入类似，

首先要找到待插入的位置，判断子节点是插入到父节点的左边还是右边，将父节点与子节点进行链接，前面的大逻辑都差不多，这里直接给出前半部分的代码

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;//找到要插入的位置while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//此时找到待插入的位置了，parent的左节点/右节点cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){//说明应该插入父亲的右边parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}//新节点还要链接父亲cur->_parent = parent;//插入节点后还要更新平衡因子//begin
}

接下来是要更新平衡因子，更新平衡因子的时候可能出现不平衡，此时就要进行旋转

首先进行第一步，更新平衡因子：

平衡因子=右子树的高度-左子树的高度

更新平衡因子的原则：

如果新节点插入到父节点的左边，则父节点的平衡因子-1；如果新节点插入到父节点的右边，则父节点的平衡因子+1

但插入一个节点不只是会影响父节点，也会影响祖先，因此还要判断parent子树的高度是否变化，parent子树高度的变化可以通过平衡因子的变化来判断

这里parent平衡因子的可能取值有三种 1/-1，0，2/-2

1.当更新后parent的平衡因子为1/-1时，则parent的平衡因子变化过程为：0->1/2->1（不可能，因为插入之前parent是平衡树，不存在平衡因子是2的情况），0->-1/-2->-1（不可能，因为插入之前parent是平衡树，不存在平衡因子是-2的情况），因此插入之前parent两边子树一样高，插入之后parent两边子树高度差为1，parent树符合平衡要求，但是高度增加了1，要向上面更新。

2.当更新后parent的平衡因子为2/-2时，则parent的平衡因子变化过程为：-1->-2/-3->-2（不可能，因为插入之前parent是平衡树，不存在平衡因子是-3的情况），1->2/3->2（不可能，因为插入之前parent是平衡树，不存在平衡因子是3的情况），因此插入之前parent两边子树高度差为1，插入之后parent两边子树高度差为2，parent树不符合平衡要求，需要旋转处理。不需要向上更新节点，也是更新结束条件，等下详细来讲。

3.当更新后parent的平衡因子为0时，则parent的平衡因子变化过程为：1->0/-1->0，说明插入之前parent高度差为1，新节点插在低的那边，插入后parent高度不变，不会影响到上层，更新结束。

还有一种特殊境况，就是更新后parent的平衡因子永不为0，一直更新，到根节点也就停止了，这也是更新的结束条件。

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;//找到要插入的位置while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//此时找到待插入的位置了，parent的左节点/右节点cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){//说明应该插入父亲的右边parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}//新节点还要链接父亲cur->_parent = parent;//插入节点后还要更新平衡因子//beginwhile (parent)//到根节点，更新结束{//判断新节点插入到父亲的左/右if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;//平衡因子为0，更新结束if (parent->_bf == 0){break;//直接跳出循环}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//继续向上更新cur = parent;parent = cur->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//进行旋转//beginbreak;//旋转过后高度恢复到没插入的状态，不向上更新，更新结束跳出循环}else{assert(false);}}return true;
}

再进行第二步，parent树不符合平衡要求，需要进行旋转处理

旋转的两个目标：1.让parent树平衡，2.让parent的平衡因子恢复到插入节点之前的状态，即插入后高度不变，不会影响到上层祖先，也就不用继续向上更新，这是更新的结束条件。

旋转分为四种，先来讲单旋

1.右单旋

左子树的左子树过高，A的左孩子是B，B的左孩子是C（C的存在导致B偏高，进而导致A失衡），即同方向失衡

左边高，需要向右旋转，把左子树的高度压低

过程：5 < b < 10，将 b 链接到10的左子树，将10链接到5的右子树

关注两个节点，subLR和subL

首先更改suLR的父节点，subLR接到parent的左节点；同时也要将parent的左节点更改为subLR（parent->left=subLR;subLR->_parent=parent;）

接着更改subL的右节点，将subL的右节点链接parent；同时也要更改parent的父节点，更改为subL（subL->right=parent;parent->_parent=subL;）

以及parent已经不是parent->_parent的孩子了，parent->_parent要改变指向，此时就要判断parent是parent->_parent的左孩子还是右孩子，然后改变parent父节点指向的左/右孩子，更改为subL(parent->_parent->_left/_right=subL)。

要注意一下parent有没有父节点，以及进行->访问时，此节点是不是nullptr

//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;//b链接到10的左子树parent->_left = subLR;if(subLR)//前提是subLR！=nullptr//更改subLR的父亲subLR->_parent = parent;//记录一下parent->_parentNode* pparent = parent->_parent;//10链接到5的右子树subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//parent的父节点也得指向新的孩子//parent有两种情况，1.parent本身是根节点，没有父节点，不用改变父节点的指向,直接改变根节点//2.parent不是根节点，改变父亲的指向parent->_parent->_left/_right=subLif (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;//改变subL的父节点}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subL;}else{pparent->_right = subL;}subL->_parent = pparent;}subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;
}

2.左单旋，和右单旋类似

同理，是插入到右子树的右子树，即同方向失衡

过程：10 < b的值 < 15，将 b 链接到 10 的右子树，将 10 链接到 15 的左子树

关注两个节点：subRL 和 subR

parent->_right=subRL;subRL->_parent=parent;

subR->_left=parent;parent->_parent=subR;

还要注意两个节点的父亲指向，subR 和 parent 的父亲

如果parent不为root的话，parent->_parent的孩子已经改变，还要判断parent是parent->_parent的左/右孩子

 //左单旋void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;//将b链接到10的右子树parent->_right = subRL;if(subRL)//前提subRL！=nullptr//更新b的父亲subRL->_parent = parent;//记录parent的父亲Node* pparent = parent->_parent;//将10链接到15的左边subR->_left = parent;//更新10的父亲parent->_parent = subR;//如果parent不为_root的话，要注意parent->_parent的孩子已经改变//如果parent为根的话，更新根if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subR;}elsepparent->_right = subR;subR->_parent = pparent;}parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}

接下来是双旋，分两种情况

1.左右双旋

左子树的右子树过高，即A的左孩子是B，B的右孩子是C（C存在导致B偏高，进而A失衡）

这种情况下单纯的右单旋/左单旋已经无法解决问题，需要旋转两次才能解决，先以 5 为节点进行左单旋，再以 10 为节点进行左单旋

旋转的框架是这样的

 //左右双旋void RotareLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR == subL->_right;RotateL(subL);RotateR(parent);//更新平衡因子//begin}

但是我们要重写平衡因子的更新逻辑，单旋解决不了，都会搞成0

  • 可以分成3个块，看图
  • 8的左边分给了5的右边，8的右边分给了10的左边，8成为根节点

在8的左边和右边插入都会引发双旋，但是8的左右会分给5/10，这会导致平衡因子有差异

怎么区分是插入8的左边还是8的右边？看平衡因子

  • 8的平衡因子为1，在右边插入；为-1，左边插入
  • 8的平衡因子为0，自己就是新增

也就是3种情况

关注8的平衡因子

//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;//提前保存RotateL(subL);RotateR(parent);//更新平衡因子//beginif (bf == 0)//8本身就是新插入节点{subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1)//在8的右边插入，8的左边给5；8的右边给10，平衡因子变-1{subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1)//在8的左边插入，8的右边给10，8的左边给5，平衡因子变1{subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else{assert(false);}
}

同理，右左双旋完全类似

//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;//提前保存RotateR(subR);RotateL(parent);//接着调整平衡因子//插入到e子树if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

接着我们完善插入代码

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;//找到要插入的位置while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//此时找到待插入的位置了，parent的左节点/右节点cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){//说明应该插入父亲的右边parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}//新节点还要链接父亲cur->_parent = parent;//插入节点后还要更新平衡因子//beginwhile (parent)//到根节点，更新结束{//判断新节点插入到父亲的左/右if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;//平衡因子为0，更新结束if (parent->_bf == 0){break;//直接跳出循环}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//继续向上更新cur = parent;parent = cur->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//进行旋转//beginif (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;
}

检查这是不是AVL树

这里有两种方式，一是判断平衡因子是否合理，但这不科学，因为平衡因子有可能出错；二是通过高度判断，这个高度的代码相对简单，不易出错。

public:int Height(){return _Height(_root);}private:int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int LeftHeight = _Height(root->_left);int RightHeight = _Height(root->_right);int MaxHeight = max(LeftHeight, RightHeight);return MaxHeight + 1;//加上本节点的高度}

接下来通过计算每一棵子树的高度差，来判断AVL是否是平衡树

public:bool IsBalanceTree(){_IsBalanceTree(_root);}private:bool _IsBalanceTree(Node* root){//递归结束条件if (root == nullptr)return true;int LeftHeight = _Height(root->_left);int RightHeight = _Height(root->_right);int diff = RightHeight - LeftHeight;//先判断根节点开始的树是一颗AVL树if (abs(diff) >= 2)//不符合平衡树的规则{cout << "高度差异常" << endl;return false;}if (root->_bf != diff){cout << "平衡因子异常" << endl;return false;}//再判断左右子树都是一颗AVL树；如果是，那这棵树一定是AVL树return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);}

中序遍历

public:void InOrder(){return _InOrder(_root);}
private:void _InOrder(Node* root){//递归结束条件        if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first <<":" << root->_kv.second << " ";_InOrder(root->_right);}

套一层，参数是_root，外部无法传入

计算AVL树有多少个节点

public:int size(){return _size(_root);}private:int _size(Node* root){//递归结束条件if (root == nullptr)return 0;int leftsize = _size(root->_left);int rightsize = _size(root->_right);return leftsize + rightsize + 1;}

find查找

//红黑树的查找
Node* Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first == key){return cur;}else if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else{cur = cur->_left;}}return nullptr;
}

拜拜，下期再见~

http://www.dtcms.com/a/503270.html

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