圆形平面阵列与平面方形阵的导向矢量：原理与实现

圆形平面阵列与平面方形阵的导向矢量：原理与实现

前言

导向矢量（steering vector）是阵列信号处理的核心概念，它把空间方向映射为阵元上相位/幅度的规律，是波束形成、Capon/MVDR 以及 MUSIC 等 DOA 算法的共同“底座”。本文分别推导 平面方形阵（URA/UPA） 与 圆形平面阵（UCA/UCPA） 的导向矢量，并给出统一写法与实现要点。

一、坐标系与远场平面波模型

1.1 方向参数化与单位指向向量

在右手坐标系中，取 $xy$ 为地平面、$z$ 轴向上，用方位角 $\mathrm{Az}$（绕 $z$ 轴，从 $x$ 轴起逆时针）与俯仰角 $\mathrm{El}$（自地平向上为正）描述入射方向。远场平面波的单位指向向量为
$$\mathbf{u}(\mathrm{Az},\mathrm{El})=\left[\begin{array}{c}\cos \mathrm{El}\cos \mathrm{Az}\\ \cos \mathrm{El}\sin \mathrm{Az}\\ \sin \mathrm{El}\end{array}\right].$$
式中：$\mathrm{Az}$ 为方位角（弧度/度一致即可，下同）；$\mathrm{El}$ 为俯仰角；$\mathbf{u}\in {\mathbb{R}}^3$ 为单位方向余弦向量。

1.2 平面波数与阵元相位

单频 $f_c$ 的波长与波数
$$\lambda =\frac{c}{f_c},k_0=\frac{2\pi }{\lambda }.$$
式中：$c$ 为光速；$f_c$ 为载频；$\lambda$ 为波长；$k_0$ 为标量波数。

二、导向矢量通式（任意阵形）

令第 $n$ 个阵元位置 ${\mathbf{p}}_n=[x_n,y_n,z_n{]}^{\top }$。远场窄带假设下，来自 ($\mathrm{Az},\mathrm{El}$) 的平面波在该阵元的相位为 $-k_0{\mathbf{p}}_n^{\top }\mathbf{u}$，于是导向矢量分量为
$$a_n(\mathrm{Az},\mathrm{El})=\exp (-j{k}_0{\mathbf{p}}_n^{\top }\mathbf{u}(\mathrm{Az},\mathrm{El})),n=1,\dots ,N.$$
式中：$N$ 为阵元数；${\mathbf{p}}_n$ 为阵元三维坐标（以阵心为原点）；$j$ 为虚数单位；其余符号同前。
把所有 $a_n$ 纵向堆叠得 $\mathbf{a}(\mathrm{Az},\mathrm{El})\in {\mathbb{C}}^N$ 即为导向矢量。

注：对严格平面阵（$z_n=0$），$\mathbf{a}$ 仅依赖 $\cos \mathrm{El}$ 的投影，因此对 $\pm \mathrm{El}$ 不敏感（上下半空间歧义）。

三、平面方形阵（URA/UPA）的导向矢量

3.1 阵元坐标

设阵元构成 $N_x\times N_y$ 的规则网格，间距 $d_x,d_y$，阵心居中，则
$$x_m=(m-\frac{N_x-1}{2})d_x,y_n=(n-\frac{N_y-1}{2})d_y,$$
式中：$m=0,\dots ,N_x-1$ 为 $x$ 向索引；$n=0,\dots ,N_y-1$ 为 $y$ 向索引；$x_m,y_n$ 为对应坐标；$d_x,d_y$ 为相邻阵元间距。

3.2 二维阵列的导向相位与可分离性

第 ($m,n$) 个阵元的导向分量：
$$a_{m,n}(\mathrm{Az},\mathrm{El})=\exp (-j{k}_0[x_m\cos \mathrm{El}\cos \mathrm{Az}+y_n\cos \mathrm{El}\sin \mathrm{Az}\left]\right).$$
式中：$a_{m,n}\in \mathbb{C}$ 为导向分量；其余符号同前。

将二维索引排成向量后，URA 的导向矢量可写为克罗内克积（分离形式）：
$$\begin{gathered} {\mathbf{a}}_{\mathrm{URA}}(\mathrm{Az},\mathrm{El})=\underset{{\mathbf{a}}_x({\psi }_x)}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{e}^{-\mathrm{j}{\psi }_x(-(N_x-1)/2)}\\ ⋮\\ e^{-\mathrm{j}{\psi }_x((N_x-1)/2)}\end{array}\right]}}\otimes \underset{{\mathbf{a}}_y({\psi }_y)}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{e}^{-\mathrm{j}{\psi }_y(-(N_y-1)/2)}\\ ⋮\\ e^{-\mathrm{j}{\psi }_y((N_y-1)/2)}\end{array}\right]}}, \\ {\psi }_x=k_0{d}_x\cos (\mathrm{El})\cos (\mathrm{Az}),{\psi }_y=k_0{d}_y\cos (\mathrm{El})\sin (\mathrm{Az}) \end{gathered}$$

式中：$\otimes$ 为克罗内克积；${\mathbf{a}}_x,{\mathbf{a}}_y$ 为两条一维均匀线阵的导向矢量；${\psi }_x,{\psi }_y$ 为两方向相位步进。

意义：可分离性使 URA 能用二维 DFT/FFT高效实现波束扫描与成像。

3.3 采样（避免栅瓣）的间距约束

欲在法线外最大扫描角 (\theta_{\max}) 内无栅瓣，近似需
$$d_x\le \frac{\lambda }{1+\sin {\theta }_{\max }},d_y\le \frac{\lambda }{1+\sin {\theta }_{\max }}.$$
式中：${\theta }_{\max }\in [0,90^{\circ }]$ 为相对阵面法线的最大扫描角；其余符号同前。
当 ${\theta }_{\max }\to 90^{\circ }$ 时退化为熟知的 $d_x,d_y\le \lambda /2$。

四、圆形平面阵（UCA/UCPA）的导向矢量

4.1 单环圆阵（UCA）

半径 $r$，阵元数 $P$，第 $p$ 个阵元角度 ${\varphi }_p={\varphi }_0+\frac{2\pi p}{P}$。坐标
${\mathbf{p}}_p=[r\cos {\varphi }_p,r\sin {\varphi }_p,0{]}^{\top }$。利用
$x\cos \mathrm{Az}+y\sin \mathrm{Az}=r\cos ({\varphi }_p-\mathrm{Az})$，有
$$a_p^{\mathrm{UCA}}(\mathrm{Az},\mathrm{El})=\exp (-j{k}_{0}r\cos \mathrm{El}\cos ({\varphi }_p-\mathrm{Az})),p=0,\dots ,P-1.$$
式中：$a_p^{\mathrm{UCA}}$ 为单环第 $p$ 点导向分量；$r$ 为环半径；${\varphi }_p$ 为该点的极角；${\varphi }_0$ 为起始角偏置；其余符号同前。

4.2 多环圆阵（UCPA）

设有 $L$ 个同心环，第 $\ell$ 环半径 $r_{\ell }$，该环阵元数 $P_{\ell }$，第 $p$ 点角度 ${\varphi }_{\ell ,p}$。则
$$a_{\ell ,p}^{\mathrm{UCPA}}(\mathrm{Az},\mathrm{El})=\exp (-j{k}_0{r}_{\ell }\cos \mathrm{El}\cos ({\varphi }_{\ell ,p}-\mathrm{Az})),$$
式中：$\ell =1,\dots ,L$ 为环索引；$p=0,\dots ,P_{\ell }-1$ 为角向索引；其余符号同前。
把各环的 $a_{\ell ,p}^{\mathrm{UCPA}}$ 纵向拼接即可得到整体导向矢量。

4.3 相位模态（Fourier–Bessel）展开（可选）

UCA 常用的模态域写法为
$$e^{-j{k}_{0}r\cos \mathrm{El}\cos (\varphi -\mathrm{Az})}=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }(-j{)}^m{J}_m(k_{0}r\cos \mathrm{El})e^{jm(\varphi -\mathrm{Az})},$$
式中：$m\in \mathbb{Z}$ 为角向模态阶次；$J_m(\cdot )$ 为第一类 (m) 阶贝塞尔函数；$\varphi$ 为阵元极角；其余符号同前。
该展开便于在角向做 FFT，构造快速圆阵波束器/DOA 算法。

4.4 采样约束（角向与径向）

圆阵上相邻两点的弦长
$$s=2r\sin \left(\frac{\Delta \varphi }{2}\right)\le \frac{\lambda }{2},$$
式中：$\Delta \varphi$ 为相邻阵元的角向间隔；$s$ 为对应弦长；其余符号同前。
径向相邻两环间距也建议 $\le \lambda /2$（考虑投影修正），以避免大角扫描时出现栅瓣。

五、平面阵的俯仰歧义与其消解

对于严格平面阵（$z_n=0$），导向相位只含 $\cos \mathrm{El}$：
$$-k_0{\mathbf{p}}_n^{\top }\mathbf{u}=-k_0(x_n\cos \mathrm{El}\cos \mathrm{Az}+y_n\cos \mathrm{El}\sin \mathrm{Az}),$$
式中：变量含义同前。
故 $\mathrm{El}$ 与 $-\mathrm{El}$ 给出相同的相位投影，上下半空间不可区分。
消解办法：

1. 仅估计 $|\mathrm{El}|$ 或限制在上半空间；

2. 在阵面法线方向引入非零孔径（如两层/多层阵，引入 $z_n\ne 0$，使导向相位再增一项
   $$-k_0{z}_n\sin \mathrm{El},$$
   式中：$z_n$ 为阵元高度坐标；其余符号同前。该项对 $\mathrm{El}$ 奇对称，从而可区分正负俯仰。

六、统一实现表达式与工程要点

6.1 统一矩阵写法（便于向量化）

把所有阵元坐标堆成矩阵 $\mathbf{P}=[x_n,y_n,z_n{]}_{N\times 3}$，把所有角网格点的方向余弦堆成 $\mathbf{U}=[{\mathbf{u}}_g{]}_{G\times 3}$。则字典矩阵为
$$\mathbf{A}=\exp (-j{k}_0\mathbf{P}{\mathbf{U}}^{\top })\in {\mathbb{C}}^{N\times G}.$$
式中：$\mathbf{A}$ 每一列是一个方向的导向矢量；$G$ 为角网格点数；其余符号同前。
该式一行即可在 MATLAB/Python 中生成整张“导向字典”，高效稳健。

6.2 常见规范化

数值稳定与幅度可比常做
$$\tilde{\mathbf{a}}(\cdot )=\frac{\mathbf{a}(\cdot )}{\sqrt{N}},$$
式中：$\tilde{\mathbf{a}}$ 为单位功率归一化导向矢量；(N) 为阵元数；其余符号同前。
对波束器输出常用 dB 归一化：$P_{\mathrm{dB}}=10{\log }_{10}(P/P_{\max })$。

6.3 标定与权窗

实测系统的阵元幅相误差可并入一个对角矩阵 $\mathbf{C}=\mathrm{diag}(c_1,\dots ,c_N)$：
$${\mathbf{a}}_{\text{cal}}(\cdot )=\mathbf{Ca}(\cdot ),$$
式中：$c_n$ 为第 $n$ 阵元的复校准因子；其余符号同前。
旁瓣控制可在导向矢量上施加权窗 $\mathbf{w}$：${\mathbf{a}}_w=\mathrm{diag}(\mathbf{w})\mathbf{a}$。

七、总结

本文从远场平面波模型出发，给出了导向矢量的通式，并分别针对平面方形阵（URA/UPA）与圆形平面阵（UCA/UCPA）推导了坐标—相位关系：

• URA 的导向矢量可分离，可用2D-FFT高效实现波束形成；

• UCA/UCPA 的导向矢量具有旋转对称的特性，适合模态（Fourier–Bessel）方法或匹配/自适应波束器；

• 严格平面阵对 $\pm \mathrm{El}$ 存在本征歧义，工程上需限制半空间或引入法线孔径加以消解。
  在实现层面，推荐用 $\mathbf{A}=\exp (-j{k}_0\mathbf{P}{\mathbf{U}}^{\top })$ 的统一向量化公式生成导向字典，并配合归一化、标定与权窗以满足算法与硬件的鲁棒性要求。