数据结构——二十四、图(王道408)

前言

本文介绍了图的基本概念和逻辑结构。图由顶点集V和边集E组成，分为无向图和有向图。无向图边无序，有向图边有序。简单图不存在重复边和自环边，而多重图允许。顶点的度在无向图中为相连边数，有向图中分为入度和出度。路径分为简单路径和回路，连通性分为连通和强连通。子图包括一般子图和生成子图，连通分量和强连通分量是极大连通子图。连通图的生成树是极小连通子图，非连通图的生成森林由各连通分量的生成树组成。

一.图的定义

• 图G由顶点集V和边集E组成，记为G=(V,E)，其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集；E(G)表示图G中顶点之间的关系（边）集合。若V={v1,v2,…,vn}V=\{v_{1},v_{2},\dotsc ,v_{n}\}V={v1​,v2​,…,vn​}，则用$|V|$表示图G中顶点的个数，也称图G的阶，$E=\{(u,v)\mid u\in V,v\in V\}$，用$|E|$表示图G中边的条数。
• 注意：线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空，即V一定是非空集

二.图逻辑结构的应用

三.无向图、有向图

1.无向图

• 若 E 是无向边（简称边）的有限集合时，则图 G 为无向图。边是顶点的无序对，记为 (v,w) 或 (w,v)，因为 (v,w)=(w,v)，其中 v、w 是顶点。可以说顶点 w 和顶点 v 互为邻接点。边 (v,w) 依附于顶点 w 和 v，或者说边 (v,w) 和顶点 v、w 相关联。
  G_{2}=(V_{2},E_{2})
  V_{2}={A,B,C,D,E}
  E_{2}={(A,B),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)}

2.有向图

• 若 E 是有向边（也称弧）的有限集合时，则图 G 为有向图。弧是顶点的有序对，记为 <v,w>，其中 v、w 是顶点，v 称为弧尾，w 称为弧头，< v,w> 称为从顶点 v 到顶点 w 的弧，也称 v 邻接到 w，或 w 邻接自 v。<v,m>≠<w,v>
  G_{1}=(A,B,C,D,E)
  V_{1}={A,B,C,D,E}
  E_{1}={< A,B,>,< A,C,>,< A,D,>,< A,E,>,< B,A,>,< B,C,>,< B,E,>,< C,D>}

四.简单图、多重图

数据结构课程只探讨“简单图”

1.简单图

• ①不存在重复边；
• ②不存在顶点到自身的边;

2.多重图

• 图G中某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边和自己关联，则G为多重图

五.顶点的度、入度、出度

1.无向图

• 对于无向图：顶点v的度是指依附于该顶点的边的条数，记为TD(v)。
• 在具有n个顶点、e条边的无向图中，${\sum }_{i=1}^n\mathrm{TD}(v_i)=2e$
  即无向图的全部顶点的度的和等于边数的2倍

2.有向图

• 对于有向图：
  入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(v)；
  出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD(v)。
• 顶点v的度等于其入度和出度之和，即TD(v)=ID(v)+OD(v)。
• 在具有n个顶点、e条边的有向图中，${\sum }_{i=1}^{n}ID(v_i)={\sum }_{i=1}^{n}OD(v_i)=e$

六.顶点-顶点的关系描述

• 图一
  

• 图二
  

1.路径

• 路径——顶点$v_p$到顶点$v_q$之间的一条路径是指顶点序列，$v_p,v_{i_1},v_{i_2},...,v_{i_m},v_q$

• 在无向图里边,只要一条边存在,那么你可以从上往下走,也可以从下往上走这个路径的方向是没有限制的,

• 但是在有向图里边,路径的方向必须和弧的方向是一致的

• 如在图一(无向图)中:

  • A到D的路径有:
    • ABD
    • ABED
    • ABECD

• 在图二(有向图)中:

  • 顶点A到顶点E的路径:
    • ABE
    • AE
  • 顶点E到顶点A不存在路径

2.回路(环)

• 回路——第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环
• 如图一中的BDEB就是一个环
• 如图二中的ABCDA也是一个环

3.简单路径与简单回路

• 简单路径——在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径。
• 简单回路——除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路。

4.路径长度

• 路径长度——路径上边的数目

5.顶点到顶点的距离

• 点到点的距离——从顶点u出发到顶点v的最短路径若存在，则此路径的长度称为从u到v的距离。若从u到v根本不存在路径，则记该距离为无穷(∞)。

6.联通与强联通

• 无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是连通的
• 有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的

7.联通图与强联通图

1.联通图

1.定义

• 若图G中任意两个顶点都是连通的，则称图G为连通图，否则称为非连通图。

2.常考考点

• 对于n个顶点的无向图G，

• 若G是连通图，则最少有n-1条边

  • 例如5个顶点的最少边数的联通图
    

• 若G是非连通图，则最多可能有$C_{n-1}^2$条边

  • 例如:4个顶点的最大边数的非联通图
    

2.强联通图

1.定义

• 若图中任何一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。

2.常考考点

• 对于n个顶点的有向图G，
• 若G是强连通图，则最少有n条边（形成回路）
  • 例如5个顶点边数最少的强联通图
    

七.研究图的局部——子图

1.子图

• 设有两个图 G=(V,E) 和 G’=(V’,E’)，若 V’ 是 V 的子集，且 E’ 是 E 的子集，则称 G’ 是 G 的子图。
• 并非任意挑几个点、几条边都能构成子图,如下图
  

2.生成子图

• 若有满足V(G${}^{\prime }$)=V(G)的子图G${}^{\prime }$，则称其为G的生成子图
• 比如上图中,我们把原图保留全部顶点,去掉了一些边,最后就变成了后面的生成子图

在有向图中,所谓子图和生成子图的概念也是一样的,不再赘述

八.连通分量与强连通分量

1.连通分量

• 无向图中的极大连通子图称为连通分量。
• 极大连通子图:子图必须连通，且包含尽可能多的顶点和边
• 如上图的无向图,我们可以把它分为这样的三个连通分量,每一个连通分量其实都是原图的一个子图,并且这些子图它们都是连通的
  

2.强连通分量

• 有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量
• 极大强连通子图:子图必须强连通，同时保留尽可能多的边
• 如上面的有向图中,强连通分量有:
  

九.生成树与生成森林

1.生成树

• 连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。

• 极小连通子图:边尽可能的少，但要保持连通

• 如上图的生成树为:
  

• 若图中顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。

2.生成森林

• 在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

• 如上非连通无向图,先将其所有的连通分量画出来
  

• 然后将其全部转化为生成树,就变成了生成森林
  

十.边的权、带权图/网

• 边的权——在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值。带权图/网——边上带有权值的图称为带权图，也称网。
• 带权路径长度——当图是带权图时，一条路径上所有边的权值之和，称为该路径的带权路径长度

十一.几种特殊形态的图

1.无向完全图

• 无向完全图—无向图中任意两个顶点之间都存在边
• 若无向图的顶点数 |V|=n，则$|E|\in [0,C_n^2]=[0,n(n-1)/2]$

2.有向完全图

• 有向完全图—有向图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧
• 若有向图的顶点数$\mid V\mid =n$ ，则$\mid E\mid \in \left[0,2C_n^2\right]=\left[0,n(n-1)\right]$

3.稀疏图与稠密图

• 边数很少的图称为稀疏图

• 反之称为稠密图

没有绝对的界限，一般来说|E|＜|V|log|V|时，可以将G视为稀疏图

4.树,森林,有向树

1.树与森林

1.概念

• 树–不存在回路，且连通的无向图
• n个顶点的树，必有n-1条边。

2.常考考点

• n个顶点的图，若|E|>n-1，则一定有回路

2.有向树

• 有向树——一个顶点的入度为0、其余顶点的入度均为1的有向图，称为有向树。

十二.知识回顾与重要考点

结语

终于到图了,没想到能坚持这么久,接下来我还要继续努力啊😉

如果想查看更多章节,请点击:一、数据结构专栏导航页