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机器人、具身智能的起步——线性系统理论|【三】线性、因果与时不变

news 2025/10/21 11:27:36

机器人、具身智能的起步——线性系统理论|【三】线性、因果与时不变

3.1 线性性、因果性与时不变性 (Linearity, Causality and Time Invariance)

本节正式定义了线性系统 (Linear Systems) 的概念和一些基本属性。

1. 通用系统表示 (General System Representation)

讲义中使用 $y=T(u,x0)y=\mathcal{T}\left(u, x_{0}\right)$ 表示一个通用的动态系统，其中：

$y$ 是输出 (Output)
$u$ 是输入 (Input)
$x_0$ 是初始条件 (Initial Conditions)

2. 线性性 (Linearity)

一个系统 $y=T(u,x0)y=\mathcal{T}\left(u, x_{0}\right)$ 是线性的，如果对于任意输入 $u_1$ , $u_2$ 和任意初始条件 $x_1, x_2$ ，以及任意两个实数常数 $α1,α2\alpha_1, \alpha_2$ ，总存在某个初始条件 $x_3$ ，使得以下叠加原理 (Superposition Principle) 成立：
$T(α1u1+α2u2,α1x1+α2x2)=α1T(u1,x1)+α2T(u2,x2)\mathcal{T}(\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2, \alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) = \alpha_1 \mathcal{T}(u_1, x_1) + \alpha_2 \mathcal{T}(u_2, x_2)$

核心推论:
线性系统的全部解等于一个特解 (Particular Solution)（由输入引起，即 $T(u,0)\mathcal{T}(u, 0)$ ）加上齐次解 (Homogeneous Solution)（由初始条件引起，零输入响应 Zero-Input Response，即 $T(0,xh)\mathcal{T}(0, x_h)$ ）。

状态空间 (State-Space, SS) 线性系统中， $y_{ZS}$ (零状态响应) 是特解， $y_{ZI}$ (零输入响应) 是齐次解。

3. 因果性 (Causality)

一个连续时间系统 (Continuous-Time, CT System) 是因果的，如果对于任何初始条件 $x_0$ 、任何输入 $u (t)$ 和 $uˉ(t)\bar{u}(t)$ ，以及每个固定的 $T > 0$ ，只要两个输入在时间区间 $t_0, t_0+T)$ 内完全相同 ( $uˉ(t)=u(t)\bar{u}(t)=u(t)$ )，那么它们对应的输出在同一时间区间内也完全相同 ( $yˉ(t)=y(t)\bar{y}(t)=y(t)$ )。

通俗理解: 系统的当前输出 $y (t)$ 仅取决于当前及过去的输入 $u(τ)(τ≤t)u(\tau) (\tau \leq t)$ ，而不依赖于未来的输入。因此，因果系统也称为非 anticipative 的 (Nonanticipative)，即不能“预见”未来的输入。
离散时间系统 (Discrete-Time, DT System) 的定义类似，只是时间变量取整数。
✅ 状态空间线性系统都是因果的。

4. 时不变性 (Time Invariance)

一个连续时间系统 (CT System) 是时不变的，如果对于任何初始条件 $x_0$ 、任何输入 $u (t)$ 和 $uˉ(t)\bar{u}(t)$ ，以及每个固定的 $\geq 0$ ，如果输入 $uˉ(t)\bar{u}(t)$ 是 $u (t)$ 的一个时移版本 ( $uˉ(t)=u(t+T)\bar{u}(t)=u(t+T)$ )，那么输出 $yˉ(t)\bar{y}(t)$ 也同样是 $y (t)$ 的相同时移版本 ( $yˉ(t)=y(t+T)\bar{y}(t)=y(t+T)$ )。

通俗理解: 系统的特性不随时间改变。如果一个输入产生某个输出，那么无论什么时候施加这个输入，产生的输出形状都是相同的，仅仅是在时间上发生了平移。
时变系统 (Time-Varying System) 则不满足这个性质。
✅ 状态空间线性时不变系统 (LTI Systems) 是“时不变的”。

练习举例:

$\cos(u(t))$ : 非线性 (Nonlinear), 因果, 时不变。
$y (t) = t u (t)$ : 线性, 因果, 时变 (因为系数 t 随时间变化)。
$\int_{t_0}^{t} u^2(\tau+1) d\tau$ : 非线性, 非因果 (因为积分项 $u(τ+1)u(\tau+1)$ 依赖于未来时刻 $τ+1>t\tau+1 > t$ 的输入)。

3.2 线性系统的脉冲响应 (Impulse Response of Linear Systems)

这是第一种输入-输出 (I/O) 描述方式，只关心由输入引起的响应 ( $\mathcal{T}(u)$ )。

核心思想：

任何输入信号 $u (t)$ 都可以近似看作是无数个强度不同、时间不同的脉冲 (Pulse) 的叠加。对于一个单输入单输出系统 (SISO System)，利用系统的线性性，其输出可以表示为这些脉冲响应的叠加求和（积分）：
$\int_{t_0}^{\infty} g(t, \tau) u(\tau) d\tau$
其中 $\tau)$ 称为脉冲响应函数 (Impulse Response Function)，它表示在时刻 $τ\tau$ 施加一个单位脉冲，在时刻 $t$ 观测到的输出值。

推广到多输入多输出系统 (MIMO Systems):

对于有 $n_i$ 个输入、 $n_o$ 个输出的线性系统，存在一个脉冲响应矩阵 (Impulse Response Matrix, IRM) $\tau)$ ，使得系统输出为：
$\int_{t_0}^{\infty} G(t, \tau) u(\tau) d\tau$

IRM $\tau)$ 是一个 $no×nin_o \times n_i$ 的矩阵。
其第 $(i, j)$ 个元素 $Gij(t,τ)G_{ij}(t, \tau)$ 表示：仅在第 $j$ 个输入口于时刻 $τ\tau$ 施加一个单位脉冲时，在第 $i$ 个输出口于时刻 $t$ 测量到的响应。

重要说明:

IRM 只能描述系统的零状态响应 ( $y_{ZS}$ )，无法反映由非零初始条件引起的齐次解 ( $y_{ZI}$ )。
IRM 适用于所有线性系统，而不仅仅是状态空间描述的系统。

与状态空间模型的关系：

对于一个状态空间线性系统 $(A (t), B (t), C (t), D (t))$ ，其脉冲响应矩阵为：
$\tau) = C(t)\Phi(t, \tau)B(\tau) + D(t)\delta(t-\tau)$
其中 $Φ(t,τ)\Phi(t, \tau)$ 是状态转移矩阵 (State Transition Matrix, STM)。

线性时不变系统 (LTI Systems) 的简化：

如果系统是因果且时不变的，则脉冲响应矩阵只取决于时间差： $\tau) = G(t - \tau)$ 。输出方程可简化为卷积积分 (Convolution Integral)：
$\int_{0}^{t} G(t - \tau) u(\tau) d\tau \quad \text{或简写为} \quad y(t) = G(t) * u(t)$
卷积运算在时域比较复杂，但通过积分变换可以转化为简单的代数运算，这就引出了第二种I/O描述。

3.3 LTI 系统的传递函数 (Transfer Function of LTI Systems)

本节专注于因果线性时不变系统 (Causal LTI Systems)。

数学工具：

为了简化卷积运算，我们使用：

拉普拉斯变换 (Laplace Transform)：用于连续时间 (CT) 系统。
- 定义： $x^(s)=L[x(t)]=∫0∞x(t)e−stdt\hat{x}(s) = \mathcal{L}[x(t)] = \int_{0}^{\infty} x(t)e^{-st} dt$ ，其中 $s$ 是复数。
- 重要性质：时域卷积等于复频域乘法。 $L[g(t)∗u(t)]=g^(s)⋅u^(s)\mathcal{L}[g(t)*u(t)] = \hat{g}(s) \cdot \hat{u}(s)$
Z 变换 (z-Transform)：用于离散时间 (DT) 系统。
- 定义： $x^(z)=Z[x(t)]=∑t=0∞x(t)z−t\hat{x}(z) = \mathcal{Z}[x(t)] = \sum_{t=0}^{\infty} x(t)z^{-t}$ ，其中 $z$ 是复数。
- 重要性质：时域卷积等于Z域乘法。 $Z[g(t)∗u(t)]=g^(z)⋅u^(z)\mathcal{Z}[g(t)*u(t)] = \hat{g}(z) \cdot \hat{u}(z)$

传递函数定义 (Transfer Function Definition):

一个因果LTI系统的传递函数矩阵 (Transfer Function Matrix, TFM) 定义为其脉冲响应矩阵的拉普拉斯变换（CT）或Z变换（DT）：

CT: $G^(s)≜L[G(t)]\hat{G}(s) \triangleq \mathcal{L}[G(t)]$
DT: $G^(z)≜Z[G(t)]\hat{G}(z) \triangleq \mathcal{Z}[G(t)]$

核心定理：

在复频域中，系统输出等于传递函数矩阵乘以输入：

CT: $y^(s)=G^(s)u^(s)\hat{y}(s) = \hat{G}(s) \hat{u}(s)$
DT: $y^(z)=G^(z)u^(z)\hat{y}(z) = \hat{G}(z) \hat{u}(z)$
这极大地简化了系统输入输出关系的分析和计算。

从状态空间模型求传递函数：

对于一个状态空间LTI系统：

连续时间 (CT): $x˙=Ax+Bu,y=Cx+Du\dot{x} = Ax + Bu, \quad y = Cx + Du$
- 其传递函数为： $G^(s)=C(sI−A)−1B+D\hat{G}(s) = C(sI - A)^{-1}B + D$
离散时间 (DT): $\quad y(t) = Cx(t) + Du(t)$
- 其传递函数为： $G^(z)=C(zI−A)−1B+D\hat{G}(z) = C(zI - A)^{-1}B + D$

3.4 例子 (Example)

（讲义中例子未给出具体内容，通常会是应用上述公式计算给定系统的脉冲响应或传递函数）。

总结 (Summary)

这份讲义介绍了描述线性系统的两种主要输入-输出模型：

时域模型：脉冲响应 (Impulse Response) - 物理意义清晰，适用于所有线性系统。
复频域模型：传递函数 (Transfer Function) - 计算简便，仅适用于LTI系统。

这两种模型专注于系统的“外部”输入输出特性，而不涉及系统内部的“状态”变量。它们与状态空间模型之间可以相互转换，如下图所示：
（图示：状态空间模型 $↔\xleftrightarrow{}$ 脉冲响应 $↔L,Z\xleftrightarrow{\mathcal{L},\mathcal{Z}}$ 传递函数）

补充：各种变换定义及其性质

好的，我们来系统地讲解信号与系统分析中最重要的三大变换：傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。我会清晰地阐述它们的定义、联系、区别和应用场景。

核心思想：变换域分析

核心思想： 这三大变换的本质都是一种数学工具，目的是将信号从时域 (Time Domain) 转换到另一个域 (Domain)（频域、复频域）进行分析。在时域中，我们分析信号如何随时间变化；在变换域中，我们分析信号的“成分”，比如包含哪些频率，这些成分的幅度和相位如何。这就像用一个棱镜将白光分解为七彩光谱。

为什么需要变换？ 因为很多在时域中复杂难解的操作（如微分、积分、卷积），在变换域中会简化为简单的代数运算（如乘法、除法），极大地简化了系统分析和设计。

1. 傅里叶变换 (Fourier Transform, FT)

1.1 定义与思想

核心问题： 一个信号是由哪些不同频率、不同振幅的正弦波“叠加”而成的？
数学定义 (连续时间)：
对于一个连续时间信号 ( x(t) )，其傅里叶变换 ( X(j\omega) ) 为：
[
X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt
]
其中，( \omega = 2\pi f ) 是角频率 (Angular Frequency)，单位是弧度/秒 (rad/s)。( j ) 是虚数单位。( X(j\omega) ) 是一个复数，包含了每个频率分量 ( \omega ) 的幅度和相位信息。
逆傅里叶变换 (Inverse Fourier Transform, IFT)： 可以从频域恢复回时域：
[
x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega
]

1.2 特点与应用

关注点： 纯粹的频率分析。它只关心信号的频率成分，不关心信号何时开始。
收敛条件 (Dirichlet条件)： 信号必须满足绝对可积，即 ( \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)| dt < \infty )。这意味着很多重要信号（如单位阶跃信号 ( u(t) )、增长的指数信号 ( e^{at} (a>0) )）的傅里叶变换不存在，这是FT的一个主要局限性。
主要应用：
- 信号频谱分析 (Spectrum Analysis)。
- 滤波器的分析与设计。
- 处理平稳信号 (信号特性不随时间改变)。

1.3 离散对应：离散时间傅里叶变换 (Discrete-Time Fourier Transform, DTFT)

对于离散时间信号 ( x[n] )，其DTFT为：
[
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n}
]
其频谱 ( X(e^{j\omega}) ) 是周期为 ( 2\pi ) 的连续函数。

2. 拉普拉斯变换 (Laplace Transform)

2.1 定义与思想 (对FT的推广)

核心问题： 如何让那些不满足绝对可积条件的信号（尤其是不稳定信号）也能进行变换域分析？同时，如何更方便地分析系统的稳定性？
数学定义 (连续时间)：
在FT的积分核 ( e^{-j\omega t} ) 上乘以一个衰减因子 ( e^{-\sigma t} )，构成新的复指数核 ( e^{-s t} )，其中 ( s = \sigma + j\omega ) 是一个复频率 (Complex Frequency) 变量。
拉普拉斯变换 ( X(s) ) 定义为：
[
X(s) = \int_{0}^{\infty} x(t) e^{-st} dt
]
（注：通常考虑因果信号，故积分从0开始，称为单边拉普拉斯变换 (Unilateral Laplace Transform)）。

2.2 特点与应用

收敛域 (Region of Convergence, ROC)： 拉普拉斯变换是否收敛，取决于 ( \sigma ) 的取值。ROC是s平面上使积分收敛的s值的集合。ROC是理解系统因果性和稳定性的关键。
与FT的关系：
- 拉普拉斯变换可以看作是更广义的傅里叶变换。
- 当 ( s = j\omega )（即复变量s的实部 ( \sigma = 0 )）时，拉普拉斯变换就退化为傅里叶变换。但前提是 ( j\omega ) 轴位于ROC内。
主要应用：
- 求解微分方程： 将时域的微分运算转换为s域的代数运算。
- 分析线性时不变系统 (LTI System) 的稳定性： 系统稳定的充要条件是其所有极点 (Poles) 的实部都小于零（即极点都位于s平面的左半平面）。
- 是连续时间系统分析和综合的主要工具。

3. Z变换 (z-Transform)

3.1 定义与思想 (离散时间的拉普拉斯变换)

核心问题： 如何为离散时间系统建立一个类似于拉普拉斯变换的强大分析工具？
数学定义：
对于一个离散时间信号 ( x[n] )，其Z变换 ( X(z) ) 定义为：
[
X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}
]
其中，( z = re^{j\omega} ) 是一个复变量。

3.2 特点与应用

与拉普拉斯变换的关系：
- Z变换本质上是离散时间版本的拉普拉斯变换。
- 通过映射 ( z = e^{sT} )（T为采样周期）可以建立s平面和z平面的对应关系。
收敛域 (ROC)： 与拉普拉斯变换类似，Z变换也有其ROC，是z平面上使级数收敛的z值的集合（通常是一个圆环区域）。ROC对判断离散系统的因果性和稳定性至关重要。
与DTFT的关系：
- 当 ( |z| = 1 )（即z在复平面的单位圆上）时，Z变换就退化为离散时间傅里叶变换 (DTFT)。
主要应用：
- 求解差分方程： 将时域的差分运算转换为z域的代数运算。
- 分析离散LTI系统（尤其是数字滤波器）的稳定性： 系统稳定的充要条件是所有极点都位于z平面的单位圆内。
- 是数字信号处理 (Digital Signal Processing, DSP) 和离散系统分析的基石。

三者的关系总结与对比

特性	傅里叶变换 (FT)	拉普拉斯变换 (LT)	Z变换 (ZT)
分析对象	连续时间信号 ( x(t) )	连续时间信号 ( x(t) )	离散时间信号 ( x[n] )
变换域变量	实频率 ( j\omega ) （虚轴）	复频率 ( s = \sigma + j\omega ) （整个s平面）	复变量 ( z = re^{j\omega} ) （整个z平面）
收敛性	要求严格（绝对可积）	要求宽松，有收敛域(ROC)	要求宽松，有收敛域(ROC)
与FT的关系	-	FT是LT在 ( s = j\omega ) 轴上的特例	DTFT是ZT在单位圆 (
核心应用	频谱分析、滤波	求解微分方程、连续系统稳定性分析	求解差分方程、离散系统稳定性分析
系统稳定性	（间接）	极点全部在s左半平面	极点全部在z单位圆内