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1. 预备知识

1.1 低秩矩阵分解

低秩矩阵分解是一种将高维矩阵近似为两个低维矩阵乘积的技术，常用于数据降维、压缩、推荐系统等领域。

步骤1：理解目标
我们有一个高维矩阵 $\Delta W$ ，希望将其近似为两个低维矩阵$A$和$B$的乘积，即$\Delta W\approx BA$。

步骤2：设定矩阵维度
假设 $\Delta W$是一个$d\times d$的矩阵。我们选择一个较小的整数 $r$，使得 $r\ll d$ 。矩阵 $A$ 的维度将是 $d\times r$ ，矩阵 $B$ 的维度将是 $r\times d$ 。

步骤3：矩阵初始化

• 初始化矩阵 $A$ 和 $B$ 。可以使用随机初始化、正态分布初始化等方法。例如：
  • $A\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$ ，表示矩阵 $A$ 的每个元素都是从均值为0、方差为 ${\sigma }^2$ 的正态分布中随机抽取的。
  • $B$ 初始化为零矩阵，即 $B=0$ 。

步骤4：矩阵乘积

• 通过矩阵乘积 $BA$ ，可以得到一个近似的 $d\times d$ 矩阵：

  W’ = BA其中 $W^{\prime }\approx \Delta W$ 。

步骤5：优化和训练

• 在训练过程中，通过优化算法（如梯度下降），不断调整矩阵 $A$ 和 $B$ 的值，使得 $W^{\prime }$ 更加接近于 $\Delta W$ 。
• 损失函数通常是衡量 $\Delta W$ 与 $W^{\prime }$ 之间差距的一个函数，例如均方误差：
  

步骤6：更新规则

• 通过优化算法计算损失函数关于 $A$ 和 $B$ 的梯度，并更新 $A$ 和 $B$ 的值。例如，使用梯度下降法更新规则如下：

其中 $\eta$ 是学习率。

2. 模拟举例

import numpy as np# 初始化矩阵 W
W = np.array([[4, 3, 2, 1],[2, 2, 2, 2],[1, 3, 4, 2],[0, 1, 2, 3]])
# 矩阵维度
d = W.shape[0] # 4# 秩
r = 2# 随机初始化 A 和 B
np.random.seed(666)# A 和 B 的元素服从标准正态分布
A = np.random.randn(d, r)
B = np.zeros((r, d))

array([[ 0.82418808,  0.479966  ],[ 1.17346801,  0.90904807],[-0.57172145, -0.10949727],[ 0.01902826, -0.94376106]])
array([[0., 0., 0., 0.],[0., 0., 0., 0.]])

# 定义超参数lr = 0.01 # 学习率，用于控制梯度下降的步长。epochs = 1000 # 迭代次数，进行多少次梯度下降更新。
# 定义损失函数def loss_function(W, A, B):'''W：目标矩阵A：矩阵分解中的一个矩阵，通常是随机初始化的。B：矩阵分解中的另一个矩阵，通常是零矩阵初始化的。'''# 矩阵相乘，@是Python中的矩阵乘法运算符，相当于np.matmul(A, B)。W_approx = A @ B# 损失函数越小，表示 A 和 B 的乘积 W_approx越接近于目标矩阵 Wreturn np.linalg.norm(W - W_approx, "fro")**2 #使用均方误差# 定义梯度下降更新
def descent(W, A, B, lr, epochs):'''梯度下降法'''# 用于记录损失值loss_history = []for i in range(epochs):# 计算梯度W_approx = A @ B# 计算损失函数关于矩阵A的梯度gd_A = -2 * (W - W_approx) @ B.T# 计算损失函数关于矩阵B的梯度gd_B = -2 * A.T @ ( W - W_approx)# 使用梯度下降更新矩阵A和BA -= lr * gd_AB -= lr * gd_B# 计算当前损失loss = loss_function(W, A, B)loss_history.append(loss)# 每100个epoch打印一次if i % 100 == 0:print(f"Epoch: {i} , 损失: {loss:.4f}")# 返回优化后的矩阵return A, B, loss_history# 进行梯度下降优化A, B, loss_history = descent(W, A, B, lr, epochs)

Epoch: 0 , 损失: 87.6534
Epoch: 100 , 损失: 2.3620
Epoch: 200 , 损失: 2.3566
Epoch: 300 , 损失: 2.3566
Epoch: 400 , 损失: 2.3566
Epoch: 500 , 损失: 2.3566
Epoch: 600 , 损失: 2.3566
Epoch: 700 , 损失: 2.3566
Epoch: 800 , 损失: 2.3566
Epoch: 900 , 损失: 2.3566

可以看到loss一直在下降，但是由于这个例子比较简单，loss到2.3620就不再下降了

# 绘制损失曲线
import matplotlib.pyplot as pltplt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(loss_history, label="loss")
plt.xlabel("Epochs")
plt.ylabel("Loss")
plt.title("Loss Curve")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

从损失曲线也可以看出，loss是一直下降的，到达最低点后保持不变了

# 最终的近似矩阵
W_approx = A @ Bprint(W_approx)

[[ 3.92499196  3.06584542  2.10616302  0.84487308][ 1.80749375  2.16899061  2.27246474  1.60187065][ 1.39233235  2.65559308  3.44471033  2.81139716][-0.31000446  1.27213581  2.43876645  2.35886822]]

# 原始的矩阵 Wprint(W)

[[4 3 2 1][2 2 2 2][1 3 4 2][0 1 2 3]]

可以看到近似矩阵和原始矩阵值十分接近，所以说这个微调效果还是比较好的