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UVa 12494 Distinct Substring

news 2025/10/16 12:26:07

题目理解

给定一个字符串 $S$ ，我们需要计算其中所有不同的子串数量。这里的"不同"有一个特殊定义：如果两个子串可以通过循环移位变成相同，那么它们就被视为相同的子串。

循环移位的定义：对于长度为 $n$ 的字符串 $T_1T_2T_3 \ldots T_n$ ，它的循环移位包括：

$T1T2T3…TnT_1T_2T_3 \ldots T_n$ （原始字符串）
$T2T3…TnT1T_2T_3 \ldots T_nT_1$
$T3…TnT1T2T_3 \ldots T_nT_1T_2$
$…\ldots$
$TnT1T2…Tn−1T_nT_1T_2 \ldots T_{n-1}$

示例说明：字符串 $" aba "$ 、 $" aab "$ 、 $" baa "$ 的所有循环移位包括：

$" aba "$ → $" aba "$ , $" baa "$ , $" aab "$
$" aab "$ → $" aab "$ , $" aba "$ , $" baa "$
$" baa "$ → $" baa "$ , $" aab "$ , $" aba "$

可以看到它们实际上共享相同的循环移位集合，因此被视为相同的子串。

解题思路

核心思想

为了解决这个问题，我们需要为每个子串找到一个标准表示，使得所有循环等价的子串都有相同的标准表示。这样，我们只需要统计不同标准表示的数量即可。

选择标准表示

最自然的选择是使用字典序最小的循环移位作为标准表示。例如：

对于 $" aba "$ ，循环移位有 $" aba "$ , $" baa "$ , $" aab "$ ，其中 $" aab "$ 是字典序最小的
对于 $" aab "$ ，循环移位有 $" aab "$ , $" aba "$ , $" baa "$ ，最小也是 $" aab "$
对于 $" baa "$ ，循环移位有 $" baa "$ , $" aab "$ , $" aba "$ ，最小也是 $" aab "$

这样，所有循环等价的子串都会映射到同一个标准表示。

算法步骤

枚举所有子串：对于长度为 $n$ 的字符串，有 $n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}$ 个子串
计算最小循环表示：对每个子串，找到它的字典序最小的循环移位
去重计数：使用哈希集合存储所有最小循环表示，最后返回集合的大小

关键算法：最小循环表示

我们使用双指针算法在 $O (L)$ 时间内找到长度为 $L$ 的字符串的最小循环表示：

string minCyclicShift(const string& s) {int n = s.length();string t = s + s;  // 构造双倍字符串int i = 0, j = 1;while (i < n && j < n) {int k = 0;while (k < n && t[i + k] == t[j + k]) {k++;}if (k == n) {break;}if (t[i + k] > t[j + k]) {i += k + 1;} else {j += k + 1;}if (i == j) {j++;}}int pos = min(i, j);return t.substr(pos, n);
}

算法原理：

将原字符串复制一份接在后面，形成双倍字符串
使用两个指针 i 和 j 分别表示两个候选的起始位置
通过比较 t[i + k] 和 t[j + k] 来推进指针
最终 min(i, j) 就是最小循环表示的起始位置

复杂度分析

子串枚举： $O(n^2)$ ，其中 $\leq 200$ ，最多 $20100$ 个子串
最小循环表示计算：每个子串平均长度 $O (n)$ ，计算复杂度 $O (n)$
总复杂度： $O(n^3)$ ，对于 $n = 200$ 大约是 $\times 10^6$ 次操作，完全可行

示例验证

以 $S = " ab c ba "$ 为例：

子串	最小循环表示	是否新出现
“a”	“a”	✓
“b”	“b”	✓
“c”	“c”	✓
“ab”	“ab”	✓
“bc”	“bc”	✓
“cb”	“bc”	✗
“ba”	“ab”	✗
“abc”	“abc”	✓
“bcb”	“bcb”	✓
“cba”	“abc”	✗
…	…	…

最终得到 $10$ 个不同的标准表示，与题目示例一致。

参考代码

// Distinct Substring
// UVa ID: 12494
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-15
// UVa Run Time: 0.130s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include <bits/stdc++.h>using namespace std;string minCyclicShift(const string& s) {int n = s.length();string t = s + s;int i = 0, j = 1;while (i < n && j < n) {int k = 0;while (k < n && t[i + k] == t[j + k]) {k++;}if (k == n) {break;}if (t[i + k] > t[j + k]) {i += k + 1;} else {j += k + 1;}if (i == j) {j++;}}int pos = min(i, j);return t.substr(pos, n);
}int main() {int T;cin >> T;while (T--) {string s;cin >> s;int n = s.length();unordered_set<string> seen;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i + 1; j <= n; j++) {string substr = s.substr(i, j - i);string canonical = minCyclicShift(substr);seen.insert(canonical);}}cout << seen.size() << endl;}return 0;
}