MATLAB CVX 能处理的目标函数数量级极限是多少？

在 MATLAB 中使用 CVX 进行凸优化时，目标函数的数量级极限主要受 数值精度、问题维度 和 求解器能力 影响，而不同求解器（如 SDPT3、SeDuMi、MOSEK）的处理能力也有所不同。

1. 数量级限制

CVX 采用双精度浮点数（64-bit floating point），其表示的数值范围大约是：
[
10^{-308} \sim 10^{308}
]
但由于数值计算的稳定性问题，目标函数的推荐数量级一般在：
[
10^{-6} \sim 10^{6}
]
之间较为稳定。如果目标函数的值超出此范围，可能会导致 数值不稳定、精度丢失 或 求解失败。

2. 影响因素

• 优化问题的规模（变量个数、约束个数）：大规模问题容易导致数值不稳定，特别是涉及病态矩阵时。
• 优化变量的数量级差异：如果优化变量的数值范围相差过大（如 (10^6) 和 (10^{-6}) ），可能会影响求解精度。
• 选用的求解器：
  • SDPT3 和 SeDuMi 适用于半定规划和二阶锥规划，但数值稳定性较差。
  • MOSEK 在大规模稀疏问题上表现较好，并且数值稳定性较高。

3. 建议

1. 归一化目标函数：

   • 如果目标值过大或过小，建议将目标函数或变量进行 归一化 处理，使其量级落在 [10^{-2}, 10^2] 范围内，提高数值稳定性。

2. 检查条件数（Condition Number）：

   • 目标函数的 Hessian 矩阵（若存在二阶信息）或约束矩阵的条件数过大会影响求解精度，可使用 cond() 函数检查：

     A = randn(100, 100);
     cond(A)
     

   • 如果条件数过大，可考虑 正则化 或 预处理。

3. 选择合适的求解器：

   • 如果问题较大（变量>5000）且数值范围较广，建议使用 MOSEK：

     cvx_solver mosek
     

   • 对于标准凸优化问题（如 SDP、SOCP），SDPT3 和 SeDuMi 也可以尝试：

     cvx_solver sdpt3
     cvx_solver sedumi
     

4. 结论

MATLAB CVX 处理的目标函数值推荐在 (10^{-6} \sim 10^6) 之间，以保证数值稳定性。如果目标函数超出该范围，应 归一化 或 调整求解器，以避免数值精度问题。

如果你的问题涉及更大数量级的目标函数，建议考虑 MOSEK 或 商业求解器（如 Gurobi）。