平面的方程公式

介绍

在高等数学中，平面的方程有多种表达形式，每种形式都有其特定的应用场景。以下是几种主要的平面方程公式及其解释：

1. 点法式方程

• 公式：
  $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$
• 说明：
  该方程表示通过点 $(x_0,y_0,z_0)$ 且法向量为 $\mathbf{n}=(A,B,C)$ 的平面。法向量与平面垂直，决定了平面的方向。

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2. 一般式方程

• 公式：
  $$Ax+By+Cz+D=0$$
• 说明：
  这是平面方程最通用的形式，其中 $A,B,C$ 是法向量的分量，且 $A,B,C$ 不同时为零。常数 $D$ 决定了平面的位置。

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3. 截距式方程

• 公式：
  $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$
• 说明：
  该方程表示平面在 $x,y,z$ 轴上的截距分别为 $a,b,c$。适用于已知平面与坐标轴交点的情况。

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4. 三点式方程

• 公式：
  若平面过不共线的三点 $P_1(x_1,y_1,z_1),P_2(x_2,y_2,z_2),P_3(x_3,y_3,z_3)$，则方程为：
  $$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0$$
• 说明：
  利用三点的向量共面条件，通过行列式表示平面的方程。

推导步骤：
步骤 1：构造共面向量

• 在平面上，我们有三个已知点 $P_1,P_2,P_3$ 和一个动点 $P$。
• 可以构造三个向量：
  • $\overrightarrow{P_{1}P}=(x-x_1,y-y_1,z-z_1)$ (从 $P_1$ 指向动点 $P$)
  • $\overrightarrow{P_1{P}_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$ (从 $P_1$ 指向 $P_2$)
  • $\overrightarrow{P_1{P}_3}=(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)$ (从 $P_1$ 指向 $P_3$)

步骤 2：利用共面条件

• 点 $P$ 在由 $P_1,P_2,P_3$ 确定的平面上的充要条件是：向量 $\overrightarrow{P_{1}P},\overrightarrow{P_1{P}_2},\overrightarrow{P_1{P}_3}$ 共面。
• 三个向量共面的充要条件是：它们的混合积（标量三重积）为零。
  $$\overrightarrow{P_{1}P}\cdot (\overrightarrow{P_1{P}_2}\times \overrightarrow{P_1{P}_3})=0$$
  混合积的几何意义是三个向量张成的平行六面体的体积。体积为0，说明它们“摊”在了同一个平面上。

步骤 3：写出行列式形式

• 混合积可以用行列式来表示。所以上面的条件等价于：
  $$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0$$
  这个行列式就是平面的三点式方程。

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5. 法线式方程

• 公式：
  $$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma =p$$
• 说明：
  其中 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 是平面单位法向量的方向余弦，$p$ 是原点到平面的距离。适用于需要直接表示距离和方向的场景。

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关键点总结：

• 法向量：是确定平面方向的核心，一般式中的系数 $(A,B,C)$ 即为法向量。
• 特殊平面：
  • 当 $D=0$ 时，平面过原点。
  • 当 $A=0$ 时，平面平行于 $x$ 轴；类似地，$B=0$ 或 $C=0$ 时平行于对应坐标轴。
• 转换关系：不同形式的方程可通过代数运算相互转换。