矩阵的除法
矩阵运算中没有直接的 “除法”概念（因矩阵乘法不满足交换律，无法像数的除法那样简单定义），但可通过逆矩阵（可逆方阵）或伪逆矩阵（非方阵 / 奇异矩阵），将 “除法” 转化为乘以逆矩阵 / 伪逆矩阵的操作。
一、方阵的 “除法”：逆矩阵（仅适用于可逆方阵）
对于 n 阶方阵 A，若存在方阵 \(A^{-1}\) 满足 \(AA^{-1} = A^{-1}A = I\)（I 为单位矩阵），则 \(A^{-1}\) 是 A 的逆矩阵（此时 A 称为 “可逆矩阵” 或 “非奇异矩阵”，需满足 \(\det(A) \neq 0\)、秩为 n）。
此时，“矩阵除法” 通过乘以逆矩阵实现：
- 右除：若要计算 “A 除 B”（即 \(B \div A\)），等价于 \(B \times A^{-1}\)，MATLAB 中用
B / A表示。 - 左除：若要计算 “A 被 B 除”（即 \(A \div B\)），等价于 \(A \times B^{-1}\)，MATLAB 中用 B
\ A表示。
示例（可逆方阵）
已知 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\)，求 “右除 \(B / A\)” 和 “左除 \(A \setminus B\)”。
先求 A 的逆矩阵 \(A^{-1}\)：行列式 \(\det(A) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2 \neq 0\)，故 A 可逆。伴随矩阵 \(\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\)，因此：\(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}\)
右除 \(B / A\)（即 \(B \times A^{-1}\)）：\(B \times A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\)
左除 \(A \setminus B\)（即 \(A^{-1} \times B\)）：\(A^{-1} \times B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\)
二、非方阵 / 奇异矩阵的 “除法”：伪逆矩阵（广义逆）
若矩阵 A 是非方阵（行数≠列数），或奇异方阵（行列式 \(\det(A) = 0\)，不可逆），则需用伪逆矩阵（Moore-Penrose 逆 \(A^+\)）实现 “除法”。
伪逆满足 “Moore-Penrose 条件”（从投影、正交等角度定义的最优性），且能解决 “超定方程组”（方程数 > 未知数）的最小二乘解（使误差 \(\|AX - B\|_2\) 最小）。
计算与应用（以非方阵为例）
设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}\)（3 行 2 列，列满秩），\(B = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}\)（3 行 1 列），求 “\(A \setminus B\)”（即解 \(AX = B\) 的最小二乘解）。
伪逆的计算：对列满秩矩阵，伪逆公式为 \(A^+ = (A^T A)^{-1} A^T\)。计算 \(A^T A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 35 & 44 \\ 44 & 56 \end{pmatrix}\)，再求其逆：\((A^T A)^{-1} = \frac{1}{35 \times 56 - 44^2} \begin{pmatrix} 56 & -44 \\ -44 & 35 \end{pmatrix} = \frac{1}{28} \begin{pmatrix} 56 & -44 \\ -44 & 35 \end{pmatrix}\)因此：\(A^+ = (A^T A)^{-1} A^T \approx \begin{pmatrix} -0.2857 & 0.0714 & 0.4286 \\ 0.2143 & 0.1429 & 0.0714 \end{pmatrix}\)
最小二乘解（即 “右除” 结果）：\(X = A^+ B \approx \begin{pmatrix} 1.2857 \\ 0.7143 \end{pmatrix}\)该解使 \(\|AX - B\|_2\) 最小（误差平方和最小）。
三、MATLAB 中的矩阵 “除法” 操作
- 逆矩阵：用
inv(A)计算方阵的逆（要求 A 可逆）。 - 左除：
A \ B→ 等价于 \(A^{-1}B\)（可逆时）或伪逆下的最小二乘解（非可逆 / 非方阵时）。 - 右除：
B / A→ 等价于 \(B A^{-1}\)（可逆时）。 - 伪逆：用
pinv(A)计算任意矩阵的伪逆。
总结
矩阵 “除法” 的核心是用 “逆矩阵 / 伪逆矩阵” 替代数的 “倒数”，将除法转化为乘法：
- 可逆方阵：通过逆矩阵实现 “左除” 或 “右除”（因矩阵乘法不交换，左 / 右除结果不同）。
- 非方阵 / 奇异矩阵：通过伪逆矩阵实现 “广义除法”，得到最小二乘意义下的最优解。