java-代码随想录第66天|Floyd 算法、A * 算法精讲 （A star算法）
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Floyd 算法
97. 小明逛公园
A * 算法精讲 （A star算法）
127. 骑士的攻击
扩展
A * 的缺点
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Floyd 算法
97. 小明逛公园
题目描述
小明喜欢去公园散步，公园内布置了许多的景点，相互之间通过小路连接，小明希望在观看景点的同时，能够节省体力，走最短的路径。
给定一个公园景点图，图中有 N 个景点（编号为 1 到 N），以及 M 条双向道路连接着这些景点。每条道路上行走的距离都是已知的。
小明有 Q 个观景计划，每个计划都有一个起点 start 和一个终点 end，表示他想从景点 start 前往景点 end。由于小明希望节省体力，他想知道每个观景计划中从起点到终点的最短路径长度。 请你帮助小明计算出每个观景计划的最短路径长度。
输入描述
第一行包含两个整数 N, M, 分别表示景点的数量和道路的数量。
接下来的 M 行，每行包含三个整数 u, v, w，表示景点 u 和景点 v 之间有一条长度为 w 的双向道路。
接下里的一行包含一个整数 Q，表示观景计划的数量。
接下来的 Q 行，每行包含两个整数 start, end，表示一个观景计划的起点和终点。
输出描述
对于每个观景计划，输出一行表示从起点到终点的最短路径长度。如果两个景点之间不存在路径，则输出 -1。
本题是多源最短路，即 求多个起点到多个终点的多条最短路径。
Floyd 算法对边的权值正负没有要求，都可以处理。
Floyd算法核心思想是动态规划。
例如我们再求节点1 到 节点9 的最短距离，用二维数组来表示即：grid[1][9]，如果最短距离是10 ，那就是 grid[1][9] = 10。
那 节点1 到 节点9 的最短距离 是不是可以由 节点1 到节点5的最短距离 + 节点5到节点9的最短距离组成呢？即 grid[1][9] = grid[1][5] + grid[5][9]
节点1 到节点5的最短距离 是不是可以有 节点1 到 节点3的最短距离 + 节点3 到 节点5 的最短距离组成呢？即 grid[1][5] = grid[1][3] + grid[3][5]
以此类推，节点1 到 节点3的最短距离 可以由更小的区间组成。
那么这样我们是不是就找到了，子问题推导求出整体最优方案的递归关系呢。
节点1 到 节点9 的最短距离 可以由 节点1 到节点5的最短距离 + 节点5到节点9的最短距离组成， 也可以有 节点1 到节点7的最短距离 + 节点7 到节点9的最短距离的距离组成。
因为是最短路径，所以我们选择一个最小值
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
grid[i][j][k] = m，表示 节点i 到 节点j 以[1...k] 集合中的一个节点为中间节点的最短距离为m。
这里的k不能单独指某个节点，k 一定要表示一个集合，即[1...k] ，表示节点1 到 节点k 一共k个节点的集合。
2、确定递推公式
我们分两种情况：
1.节点i 到 节点j 的最短路径经过节点k
2.节点i 到 节点j 的最短路径不经过节点k
对于第一种情况，grid[i][j][k] = grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1]
节点i 到 节点k 的最短距离 是不经过节点k，中间节点集合为[1...k-1]，所以 表示为grid[i][k][k - 1]
节点k 到 节点j 的最短距离 也是不经过节点k，中间节点集合为[1...k-1]，所以表示为 grid[k][j][k - 1]
第二种情况，grid[i][j][k] = grid[i][j][k - 1]
如果节点i 到 节点j的最短距离 不经过节点k，那么 中间节点集合[1...k-1]，表示为 grid[i][j][k - 1]，因为我们是求最短路，对于这两种情况自然是取最小值。
即： grid[i][j][k] = min(grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1]， grid[i][j][k - 1])
3、dp数组如何初始化
grid[i][j][k] = m，表示 节点i 到 节点j 以[1...k] 集合为中间节点的最短距离为m。
刚开始初始化k 是不确定的。
例如题目中只是输入边（节点2 -> 节点6，权值为3），那么grid[2][6][k] = 3，k需要填什么呢？
把k 填成1，那如何上来就知道 节点2 经过节点1 到达节点6的最短距离是多少 呢。
所以 只能 把k 赋值为 0，本题 节点0 是无意义的，节点是从1 到 n。
这样我们在下一轮计算的时候，就可以根据 grid[i][j][0] 来计算 grid[i][j][1]，此时的 grid[i][j][1] 就是 节点i 经过节点1 到达 节点j 的最小距离了。
4、确定遍历顺序
从递推公式：grid[i][j][k] = min(grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1]， grid[i][j][k - 1]) 可以看出，我们需要三个for循环，分别遍历i，j 和k
而 k 依赖于 k - 1， i 和j 的到 并不依赖与 i - 1 或者 j - 1 等等。
那么这三个for的嵌套顺序应该是什么样的呢？
我们来看初始化，我们是把 k =0 的 i 和j 对应的数值都初始化了，这样才能去计算 k = 1 的时候 i 和 j 对应的数值。
这就好比是一个三维坐标，i 和j 是平层，而k 是 垂直向上 的。遍历的顺序是从底向上 一层一层去遍历。所以遍历k 的for循环一定是在最外面，这样才能一层一层去遍历
public class FloydBase {// public static int MAX_VAL = Integer.MAX_VALUE;// 边的最大距离是10^4(不选用Integer.MAX_VALUE是为了避免相加导致数值溢出)public static int MAX_VAL = 10005; public static void main(String[] args) {// 输入控制Scanner sc = new Scanner(System.in);System.out.println("1.输入N M");int n = sc.nextInt();int m = sc.nextInt();System.out.println("2.输入M条边");// ① dp定义（grid[i][j][k] 节点i到节点j 可能经过节点K（k∈[1,n]））的最短路径int[][][] grid = new int[n + 1][n + 1][n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {for (int k = 0; k <= n; k++) {grid[i][j][k] = grid[j][i][k] = MAX_VAL; // 其余设置为最大值}}}// ② dp 推导：grid[i][j][k] = min{grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1], grid[i][j][k-1]}while (m-- > 0) {int u = sc.nextInt();int v = sc.nextInt();int weight = sc.nextInt();// 初始化（处理k=0的情况） ③ dp初始化grid[u][v][0] = grid[v][u][0] = weight; }// ④ dp推导：floyd 推导for (int k = 1; k <= n; k++) {for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {grid[i][j][k] = Math.min(grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1], grid[i][j][k - 1]);}}}System.out.println("3.输入[起点-终点]计划个数");int x = sc.nextInt();System.out.println("4.输入每个起点src 终点dst");while (x-- > 0) {int src = sc.nextInt();int dst = sc.nextInt();// 根据floyd推导结果输出计划路径的最小距离if (grid[src][dst][n] == MAX_VAL) {System.out.println("-1");} else {System.out.println(grid[src][dst][n]);}}}
}A * 算法精讲 （A star算法）
127. 骑士的攻击
题目描述
在象棋中，马和象的移动规则分别是“马走日”和“象走田”。现给定骑士的起始坐标和目标坐标，要求根据骑士的移动规则，计算从起点到达目标点所需的最短步数。
棋盘大小 1000 x 1000（棋盘的 x 和 y 坐标均在 [1, 1000] 区间内，包含边界）
输入描述
第一行包含一个整数 n，表示测试用例的数量，1 <= n <= 100。
接下来的 n 行，每行包含四个整数 a1, a2, b1, b2，分别表示骑士的起始位置 (a1, a2) 和目标位置 (b1, b2)。
输出描述
输出共 n 行，每行输出一个整数，表示骑士从起点到目标点的最短路径长度。
对广搜进行优化,从队列取出的节点尽可能是靠近终点的方向去取，不断地朝着终点地方向取，从队列里面取F的时候进行了排序，取最小的F.
启发式函数：
G=起点-->当前点
H=当前点-->终点
F=G+H
Astar 关键在于 启发式函数， 也就是 影响 广搜或者 dijkstra 从 容器（队列）里取元素的优先顺序。
注意：BFS 是没有目的性的 一圈一圈去搜索， 而 A * 是有方向性的去搜索。
那么 A * 为什么可以有方向性的去搜索，它的如何知道方向呢？
其关键在于 启发式函数。
起点达到目前遍历节点的距离 + 目前遍历的节点到达终点的距离 就是起点到达终点的距离。
本题的图是无权网格状，在计算两点距离通常有如下三种计算方式：
-
曼哈顿距离，计算方式： d = abs(x1-x2)+abs(y1-y2)
-
欧氏距离（欧拉距离） ，计算方式：d = sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 )
-
切比雪夫距离，计算方式：d = max(abs(x1 - x2), abs(y1 - y2))
x1, x2 为起点坐标，y1, y2 为终点坐标 ，abs 为求绝对值，sqrt 为求开根号，
选择哪一种距离计算方式 也会导致 A * 算法的结果不同。
本题，采用欧拉距离才能最大程度体现 点与点之间的距离。
所以 使用欧拉距离计算 和 广搜搜出来的最短路的节点数是一样的。 （路径可能不同，但路径上的节点数是相同的）
计算出来 F 之后，按照 F 的 大小，来选去出队列的节点。
可以使用 优先级队列 帮我们排好序，每次出队列，就是F最小的节点。
扩展
A * 算法 并不是一个明确的最短路算法，A * 算法搜的路径如何，完全取决于 启发式函数怎么写。
A * 算法并不能保证一定是最短路，因为在设计 启发式函数的时候，要考虑 时间效率与准确度之间的一个权衡。
虽然本题中，A * 算法得到是最短路，也是因为本题 启发式函数 和 地图结构都是最简单的。
例如在游戏中，在地图很大、不同路径权值不同、有障碍 且多个游戏单位在地图中寻路的情况，如果要计算准确最短路，耗时很大，会给玩家一种卡顿的感觉。而真实玩家在玩游戏的时候，并不要求一定是最短路，次短路也是可以的 （玩家不一定能感受出来，及时感受出来也不是很在意），只要奔着目标走过去 大体就可以接受。
所以 在游戏开发设计中，保证运行效率的情况下，A * 算法中的启发式函数 设计往往不是最短路，而是接近最短路的 次短路设计。
A * 的缺点
上述 A * 代码的时候，可以看到 我们想 队列里添加了很多节点，但真正从队列里取出来的 仅仅是 靠启发式函数判断 距离终点最近的节点。
相对了 普通BFS，A * 算法只从 队列里取出 距离终点最近的节点。
那么问题来了，A * 在一次路径搜索中，大量不需要访问的节点都在队列里，会造成空间的过度消耗。
IDA * 算法 对这一空间增长问题进行了优化。
另外还有一种场景 是 A * 解决不了的。
如果题目中，给出 多个可能的目标，然后在这多个目标中 选择最近的目标，这种 A * 就不擅长了， A * 只擅长给出明确的目标 然后找到最短路径。
如果是多个目标找最近目标（特别是潜在目标数量很多的时候），可以考虑 Dijkstra ，BFS 或者 Floyd。