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老题新解|组合数问题

news 2025/10/12 10:24:40

《信息学奥赛一本通》第163题：组合数问题

题目描述
给定两个正整数 $n$ 和 $m$ ，请你计算从 $n$ 个不同的元素中选择 $m$ 个元素的方案数（选择的顺序不重要）。
由于方案数可能很大，请输出方案数对 $10^9+7$ 取模的结果，也就是输出方案数除以 $10^9+7$ 的余数。
输入格式
一行，包含两个整数 $n$ 和 $m$ 。
输出格式
一个整数，表示组合数 $C_n^m$ 对 $10^9+7$ 取模的结果。
输入输出样例 #1
输入 #1
5 3
输出 #1
10
说明/提示
样例解释 #1:
从 $5$ 个元素中选择 $3$ 个，总共有 $10$ 种不同的方案：

$(1, 2, 3)$
$(1, 2, 4)$
$(1, 2, 5)$
$(1, 3, 4)$
$(1, 3, 5)$
$(1, 4, 5)$
$(2, 3, 4)$
$(2, 3, 5)$
$(2, 4, 5)$
$(3, 4, 5)$
注意：选择 (1,2,3) 和选择 (2,1,3) 被视为同一种方案。
数据范围：
对于 20% 的数据，满足 $1≤m≤n≤101\le m\le n\le 10$
对于 100% 的数据，满足 $1≤m≤n≤50001\le m\le n\le 5000$

大家好，我是莫小特。
这篇文章给大家带来《信息学奥赛一本通》中的第 163 题：组合数问题。

一、题目描述

洛谷的题号是：B2164 组合数问题

二、题意分析

这道题是信息学奥赛一本通练习题的第 163 题。

根据输入格式，输入一行两个整数 m 和 n，数据范围： $1≤m≤n≤50001\le m\le n\le 5000$ ，使用 int 类型即可，注意输入顺序哦，n 在前，m 在后。

int m,n;
cin>>n>>m;

输入完成后，我们来分析题目，题目要求我们求从 n 个不同的元素中选择 m 个元素的方案数，注意，这里只需要求方案数量，具体的方案不需要我们输出，所以我们可以直接利用公式：

$Cnm=n!m!(n−m)!C_n^m=\frac {n!}{m!(n−m)!}$

根据题目计算出结果之后，需要计算对 $10^9+7$ 求模的结果。

先定义这个数值出来作为常量。

const long long MOD = 1000000007;

此时可以使用阶乘+逆阶乘的方法来计算。

模 p（这里 $p=10^9+7$ ，是素数）下，除法用乘以模逆元替代：

$a−1≡ap−2(modp)a^{-1} \equiv a^{p-2} \pmod p$

所以得出：

$Cnm≡n!×(m!)−1×((n−m)!)−1(modp))C_n^m≡n!×(m!)_{−1}×((n−m)!)^{−1}\pmod p)$

所以需要定义一个数组，元素个数为 5005。

const int MAXN=5005;

定义一个 long long 类型数组。

long long fac[MAXN],ifac[MAXN];

计算快速幂，二分幂，将指数 b 按二进制分解，遇到 1 就把当前基 a 乘到结果上。

注意：在这段代码中没有 a %= MOD 的初始语句。这里没有问题，因为我们只把 fac[n] 传给 modpow（它已经被 % MOD），但一般化写法建议先 a %= MOD。

long long modpow(long long a, long long b) {long long res = 1;while (b) {if (b & 1) res = res * a % MOD;  // 当 b 的当前最低位为 1 时，累乘一个 aa = a * a % MOD;                 // a 翻倍（平方）b >>= 1;                         // b 右移一位（相当于除以 2）}return res;
}

从 1 到 n 逐步累乘并取模，得到 0! 到 n! 的模值。
这样做避免了重复计算阶乘，若题目中需要多次查询组合数非常高效。

fac[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;

第一步：用费马小定理计算 ifac[n] = (n!)^{-1}（只需一次快速幂）。

第二步：利用关系 (i-1)!^{-1} = i!^{-1} * i 推出 ifac[i-1] = ifac[i] * i % MOD，从 n 反推到 0，不需要对每个 i 单独做幂运算，效率高且代码简洁。

思考：这样我们得到完整的 (i!)^{-1} 表，方便直接索引 ifac[m] 与 ifac[n-m]。

ifac[n] = modpow(fac[n], MOD - 2);     // (n!)^{-1}
for (int i = n; i >= 1; i--) ifac[i - 1] = ifac[i] * i % MOD;

最后输出，直接套公式 n! * (m!)^{-1} * ((n-m)!)^{-1}，每步取模以避免溢出。

long long ans = fac[n] * ifac[m] % MOD * ifac[n - m] % MOD;
cout << ans << '\n';

按照样例输入对数据进行验证。

符合样例输出，到网站提交测评。

测试通过！

三、完整代码

该题的完整代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const long long MOD = 1000000007;
const int MAXN = 5005;// 快速幂：求 a^b % MOD
long long modpow(long long a, long long b) {long long res = 1;while (b) {if (b & 1) res = res * a % MOD;a = a * a % MOD;b >>= 1;}return res;
}int main() {int n, m;cin >> n >> m;   // 输入顺序：n 在前，m 在后static long long fac[MAXN], ifac[MAXN];fac[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;ifac[n] = modpow(fac[n], MOD - 2);     // 费马小定理求逆元for (int i = n; i >= 1; i--) ifac[i - 1] = ifac[i] * i % MOD;long long ans = fac[n] * ifac[m] % MOD * ifac[n - m] % MOD;cout << ans << '\n';return 0;
}