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【滑动窗口专题】第一讲：长度最小的子数组

news 2025/10/12 13:46:58

🌿 伸缩窗口，快速捕捉满足条件的最短区间，滑动窗口的精髓由此揭开序幕。

🌱 文章摘要

本篇作为「滑动窗口专题」的开篇，带你从一道经典的数组题出发，理解滑动窗口的核心思想：通过左右指针的“扩张—收缩”操作，在 O(n) 的时间复杂度内快速捕捉满足条件的最短区间。这道题是后续多种字符串和数组窗口题的基础。

🌊 在正式开启滑动窗口之前，如果你还没看过我的《双指针专题》

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🧭 导读

在“双指针专题”中，我们熟悉了“固定+移动”的技巧。而进入“滑动窗口专题”后，问题的核心从“数值对撞”转变为“区间伸缩”。

本篇，我们将从一道非常经典的题目——长度最小的子数组（Minimum Size Subarray Sum）入手，掌握「何时扩张窗口，何时收缩窗口」的基本套路，为后续的《无重复字符的最长子串》《最小覆盖子串》等打下坚实的基础。

一、题目描述

题目：
给定一个含正整数的数组 nums 和一个正整数 target，找出该数组中满足 和 ≥ target 的最短连续子数组，并返回其长度；如果不存在，返回 0。

示例：
输入：target = 7, nums = [2,3,1,2,4,3]
输出：2
解释：子数组 [4,3] 的和 ≥ 7，且长度最短。

二、思路引导：滑动窗口的“扩张—收缩”

1. 直觉与关键观察

题目要求连续子数组且数组元素为正数。这两个条件非常关键：连续保证我们可以用两个指针表示一个窗口；正数保证当我们把窗口右端向右移动时，窗口和只会单调不减，把左端向右移动时窗口和只会单调不增。

因此，维护一个 [left, right] 的窗口，右端向右扩张来尝试“满足条件”，一旦满足就尽量收缩左端以尝试得到更短区间——这是一个贪心且不会错过最优解的策略。

2. 为什么“右扩后左缩”不会漏解？

设我们固定某次扩到 right = r，此时窗口 [L, r] 首次满足 sum ≥ target（含首次情况或后续某次）。
因为所有元素为正，若我们在 L 之前有更大的 L' < L 使 [L', r] 满足条件，那么当右指针第一次到达 r 时，[L', r] 也会已被考虑过（因为左指针只会向右移动）。
反过来也成立：当窗口满足条件并尝试缩左时，任何缩左后依旧满足条件的更短子区间都会被检测并更新答案。
因此该策略不会漏掉任何可能的最短窗口。

3. 与暴力法的对比

暴力枚举所有 (i, j) 对计算和 → O(n²)（或更差），不够高效。
滑动窗口用单次线性扫描，左/右指针合计移动次数 ≤ 2n → O(n)，在数组元素为正时是最优的常用方案。

三、窗口变化示意

数组：[2, 3, 1, 2, 4, 3]，target = 7

Step 1: right = 0, sum = 2 < 7 → 右移 right
[2] 3 1 2 4 3^Step 2: right = 1, sum = 5 < 7 → 继续右移
[2 3] 1 2 4 3^   ^Step 3: right = 2, sum = 6 < 7 → 继续右移
[2 3 1] 2 4 3^     ^Step 4: right = 3, sum = 8 ≥ 7 √ → 记录长度 4
→ 收缩 left，sum=8-2=62 [3 1 2] 4 3^     ^Step 5: right = 4, sum = 10 ≥ 7 → 记录长度 3
→ 收缩 left，sum=10-3=72 3 [1 2 4] 3^    ^Step 6: right = 4, sum = 7 ≥ 7 → 记录长度 2
→ 收缩 left，sum=7-1=6  ×Step 7: right = 5, sum = 6+3=9 ≥ 7 → 更新长度
→ 收缩 left，找到最短长度 2（[4,3]）

核心：每个元素进窗口一次、出窗口一次，总复杂度 O(n)。

四、代码实现（C++）

#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;class Solution {
public:int minSubArrayLen(int target, vector<int>& nums) {int n = nums.size();int left = 0, sum = 0, ans = INT_MAX;for (int right = 0; right < n; ++right) {sum += nums[right];// 每次扩张后，尽量收缩左边以寻找更短区间while (sum >= target) {ans = min(ans, right - left + 1);sum -= nums[left++];}}return ans == INT_MAX ? 0 : ans;}
};

五、代码剖析与细节问题

1. 每个指针的移动次数为何是 O(n)

右指针 right 在主循环中最多移动 n 次（从 0 到 n-1）。

左指针 left 在内部收缩循环中也至多移动 n 次（每次收缩都使 left 增加），left 永远不会回退。
→ 因此总指针移动次数 ≤ 2n，算法为 O(n)。

2. 为什么要求数组中的元素为正数？

若元素均为正数，窗口扩张会使 sum 单调递增，收缩会使 sum 单调递减；这使得我们可以用两指针做贪心判断并保证正确性。

若存在负数，收缩可能导致 sum 增大或扩张导致 sum 减小，单调性被破坏，滑动窗口策略需要调整。

3. 关于溢出与数据类型

若 nums 元素与 target 较大（比如题目允许 10^9），sum 可能溢出 int。在这种极端场景下，应使用 long long sum。

在多数题目约束下 int 足够，但写通用代码时用 long long 更保险。

4. 常见错误

把 right++ 放在错误位置导致漏算当前窗口；推荐不要把 right++ 放在收缩循环内部。

忘记处理 ans 未更新的情况（返回 0）。

使用 INT_MAX 然后做 ans + 1 等操作可能溢出，推荐比较并在最后判断。

当需要输出索引时，务必在更新 ans 前记录 left/right 的当前值，否则 left 会在收缩后改变。

六、复杂度分析

时间复杂度

O(n)：right 从 0 增到 n-1；left 从 0 也最多增到 n-1。每个元素最多进窗口一次、出窗口一次。所谓“摊还分析” (amortized analysis)：虽然有嵌套的 while，但内部 while 的总执行次数不会超过 n，因此总复杂度线性。