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每日一题之因数计数

news 来源：原创 2025/6/2 17:39:19

问题描述

小蓝随手写出了含有 nn 个正整数的数组 {a1,a2,⋯ ,an}{a1,a2,⋯,an}，他发现可以轻松地算出有多少个有序二元组 (i,j)(i,j) 满足 ajaj 是 aiai 的一个因数。因此他定义一个整数对 (x1,y1)(x1,y1) 是一个整数对 (x2,y2)(x2,y2) 的 “因数” 当且仅当 x1x1 和 y1y1 分别是 x2x2 和 y2y2 的因数。他想知道有多少个有序四元组 (i,j,k,l)(i,j,k,l) 满足 (ai,aj)(ai,aj) 是 (ak,al)(ak,al) 的因数，其中 i,j,k,li,j,k,l 互不相等。

输入格式

输入的第一行包含一个正整数 nn 。

第二行包含 nn 个正整数 a1,a2,⋯,ana1,a2,⋯,an，相邻整数之间使用一个空格分隔。

输出格式

输出一行包含一个整数表示答案。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;

const int N = 100010, P = 100010;
int t[N], s[N], b[N];

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);

    // 读取数组 a，并统计每个数字的出现次数
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
        t[a[i]]++;  // 统计数字 a[i] 出现的次数
    }

    int ans = 0;
    // 处理所有可能的数字 i
    for (int i = 1; i <= P; i++) {
        if (t[i]) {  // 如果 i 在数组中出现过
            // 遍历 i 的倍数 j
            for (int j = i * 2; j <= P; j += i) {
                if (t[j]) {  // 如果 j 在数组中出现过
                    b[i]  += t[j];  // 统计 i 作为因数的倍数对
                    s[j] += t[i];  // 统计 j 作为倍数的因数对
                }
            }
            // 更新 b[i] 和 s[i]，注意要减去自身
            b[i] += t[i] - 1;
            s[i] += t[i] - 1;
            ans += t[i] * b[i];  // 计算贡献
        }
    }

    ans *= (ans + 1);  // 计算最终的 ans
    // 处理 ans 减去冗余的部分
    for (int i = 1; i <= P; i++) {
        if (t[i]) {
            ans -= b[i] * b[i] * t[i];
            ans -= s[i] * s[i] * t[i];
            ans -= 2 * s[i] * b[i] * t[i];
            ans += t[i] * (t[i] - 1);
        }
    }

    cout << ans;  // 输出最终结果
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    solve();  // 调用 solve 函数
    return 0;
}

大概的思路就是找出所有可能的元组，然后减去i==j，k==l,i==l&&j==k,还有重复的情况。