【C++】AVL树的模拟实现

个人主页<—请点击
C++专栏<—请点击

一、AVL树的概念

1.1 为什么需要 AVL 树？

我们都知道二叉搜索树BST。在理想情况下，BST的搜索、插入、删除操作的时间复杂度是O(log n)。但是，如果插入的数据是有序的（例如 1, 2, 3, 4, 5），BST就会退化成一条链表，时间复杂度恶化到O(n)。

AVL树 就是为了解决这个问题而诞生的。它是一种 自平衡的二叉搜索树。它的核心思想是：在插入和删除节点时，通过一系列的 旋转 操作，始终保持树的左右子树高度大致相等，从而确保树的高度始终保持在 O(log n) 级别，进而保证所有操作的时间复杂度都是稳定的 O(log n)。

1.2 AVL 树的核心：平衡因子

AVL树的核心机制是 平衡因子。

• 平衡因子：对于树中的任意一个节点，它的平衡因子定义为 其左子树的高度减去其右子树的高度。 平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度。

• 平衡条件：AVL树要求每个节点的平衡因子只能是 -1, 0, 或 1。如果任何一个节点的平衡因子的绝对值超过了 1，那么这个树就是 不平衡 的，需要通过旋转来恢复平衡。

1.3 AVL 树的节点结构

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent; //便于更新平衡因子int _bf; //balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv): _kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){ }
};

如上图，我们采用了K-V这一通用结构，使用 std::pair 存储键值对，父指针的作用：便于回溯更新平衡因子，简化旋转操作中的链接调整。

二、AVL树的实现

2.1 AVL树的 insert 操作

insert 操作也遵循二叉搜索树的规则，但和以往不同的是当插入一个结点时，我们需要关注平衡因子的变化，新插入的结点会影响祖先结点的平衡因子。所以我们需要维护更新从新增结点 -> 根节点的平衡因子，更新平衡因子过程中可能会出现不平衡，这时要对不平衡子树进行旋转，旋转本质在调平衡的同时，也降低了子树的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。

2.1.2 平衡因子的更新

更新原则

插入节点会影响parent结点的平衡因子变化，根据公式 平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度，新增节点是parent结点的右子树时，parent的平衡因子++，否则--。parent所在子树的高度是否变化决定了是否向上更新。

更新停止条件

• 当更新后的parent结点的平衡因子是0，说明是由1或-1变成的0，那么这时候子树由一边高一边低变成了一样高，高度没有发生变化，不会影响parent的祖先，插入结束。
• 当更新后的parent结点的平衡因子是1或者-1，说明更新之前是0。那么这时候子树由一样高变成了一边高一边低，高度发生变化，会影响parent的祖先，需要继续向上更新。
• 当更新后的parent结点的平衡因子是2或者-2，说明是由1 -> 2或者-1 -> -2，这时候子树的平衡被破坏了需要进行旋转操作，旋转的目标有两个：1、把parent子树旋转平衡。2、降低parent子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束。

了解到以上这些我们来实现一下 insert 操作。

bool insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){parent = cur;if (kv.first > cur->_kv.first){cur = cur->_right;}else if(kv.first < cur->_kv.first){cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_bf = 0;if (cur->_kv.first > parent->_kv.first) parent->_right = cur;else parent->_left = cur;cur->_parent = parent;//更新维护平衡因子while (parent){if (parent->_right == cur){parent->_bf++;}else parent->_bf--;if (parent->_bf == 0) //子树高度无变化，停止向上更新{break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)//子树高度发生变化{//继续向上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转操作}else{//不是上述情况，说明这棵树之前就不是 AVL 树assert(false);}}return true;
}

如上就是除去旋转之外，插入函数的核心代码。代码中的插入部分和二叉搜索树一摸一样，就是最后需要维护平衡因子。

2.2 AVL树的 旋转 操作

2.2.1 旋转的原则

旋转的前提是要遵守搜索树的规则，其次要让不平衡的树变平衡，降低树的高度，旋转分为左单旋、右单旋、左右双旋、右左双旋。

2.2.2 右单旋

旋转核心步骤，因为5 < b子树的值 < 10，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，高度没有变化，插入结束。

实现细节：当结点的链接更改时，不要忘记更改结点的_parent指针，同时右单旋之后，parent和subL结点的平衡因子都是0。

//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{//parent 是平衡因子不符合规则的结点Node* subL = parent->_left;//相当于插入函数部分的 curNode* subLR = subL->_right;//进行旋转操作parent->_left = subLR;if (subLR)//维护 subLR 的父指针{subLR->_parent = parent;}Node* pparent = parent->_parent; //subL 之后要更改的父指针指向subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//判断之前 parent 是什么角色, 便于更改 subL 的父指针if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subL;}else pparent->_right = subL;subL->_parent = pparent;}//维护平衡因子parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

右单旋在AVL树插入部分旋转处理的应用：

else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{//旋转操作if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){//右单旋RotateR(parent);}break;
}

2.2.3 左单旋

旋转核心步骤，因为10 < b子树的值 < 15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，子树的高度没有发生变化，插入结束。

代码实现的细节部分和右单旋一样。

//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{//parent 是平衡因子不符合规则的结点Node* subR = parent->_right; //相当于插入函数部分的 curNode* subRL = subR->_left;//进行旋转操作parent->_right = subRL;if (subRL)//维护 subRL 的父指针{subRL->_parent = parent;}Node* pparent = parent->_parent; //subR 之后要更改的父指针指向subR->_left = parent;parent->_parent = subR;//判断之前 parent 是什么角色, 便于更改 subR 的父指针if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subR;}else pparent->_right = subR;subR->_parent = pparent;}//维护平衡因子parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

左单旋在AVL树插入部分旋转处理的应用：

else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{//旋转操作if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){//右单旋RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){//左单旋RotateL(parent);}break;
}

2.2.4 左右双旋

情况一：：h >= 1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变为h，并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为-1，先以5为旋转点进行一个左单旋，再以10为旋转点进行一个右单旋，这棵树就平衡了，旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因子为1。

情况二：h >= 1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为1，先以5为旋转点进行一个左单旋，再以10为旋转点进行一个右单旋，这棵树就平衡了，旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1。

情况三：h == 0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为0，先以5为旋转点进行一个左单旋，再以10为旋转点进行一个右单旋，这棵树就平衡了，旋转后8和10和5平衡因子均为0。

搞清楚左右双旋的三种情况之后就可以实现代码了。

// 左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf; // 维护平衡因子的关键点RotateL(subL);RotateR(parent);if (bf == 0){parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subL->_bf = subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

左右双旋在AVL树插入部分旋转处理的应用：

else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{// 旋转操作if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){// 右单旋RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){// 左单旋RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){// 左右双旋RotateLR(parent);}break;
}

2.2.5 右左双旋

情况一：h >= 1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变为h，并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1，先以15为旋转点进行一个右单旋，再以10为旋转点进行一个左单旋，这棵树就平衡了，旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1。

情况二：h >= 1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h，并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为1，先以15为旋转点进行一个右单旋，再以10为旋转点进行一个左单旋，这棵树就平衡了，旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。

情况三：h == 0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为0，先以15为旋转点进行一个右单旋，再以10为旋转点进行一个左单旋，这棵树就平衡了，旋转后10和12和15平衡因子均为0。

和左右双旋一样，搞清楚右左双旋的三种情况，就可以实现代码了。

// 右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf; // 维护平衡因子的关键点RotateR(subR);RotateL(parent);if (bf == 0){parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = subRL->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

右左双旋在AVL树插入部分旋转处理的应用：

else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{// 旋转操作if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){// 右单旋RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){// 左单旋RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){// 左右双旋RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){// 右左双旋RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;
}

2.3 中序遍历

public:void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}
private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << " ";_InOrder(root->_right);}

测试代码：

void TestAVLTree1()
{AVLTree<int, int> t;// 特殊的带有双旋场景的测试用例int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };for (auto e : a){if (e == 14){int x = 0;}t.insert({ e, e });}t.InOrder();
}

测试结果：

2.4 其它接口的实现

2.4.1 查找函数

Node* Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_kv.first)cur = cur->_right;else if (key < cur->_kv.first)cur = cur->_left;elsereturn cur;}return nullptr;
}

2.4.2 Size 和 Height 函数

public:int Size(){return _Size(_root);}int Height(){return _Height(_root);}
private:int _Size(Node* root){return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;}int _Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int leftH = _Height(root->_left);int rightH = _Height(root->_right);return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;}

2.4.3 AVL树的判断函数

public:bool IsBalanceTree(){return _IsBalanceTree(_root);}
private:bool _IsBalanceTree(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int leftH = _Height(root->_left);int rightH = _Height(root->_right);int bf = rightH - leftH;if (abs(bf) > 2 || bf != root->_bf){cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << "平衡因子异常" << endl;return false;}return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);}

测试代码：

void TestAVLTree2()
{AVLTree<int, int> t;// 特殊的带有双旋场景的测试用例int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };for (auto e : a){if (e == 14){int x = 0;}t.insert({ e, e });cout << "insert:" << e << "->" << t.IsBalanceTree() << endl;}t.InOrder();cout << t.IsBalanceTree() << endl;cout << t.Size() << " " << t.Height() << endl;cout << t.Find(2) << " " << t.Find(17) << endl;
}

测试结果：

总结：
以上就是本期博客分享的全部内容啦！如果觉得文章还不错的话可以三连支持一下，你的支持就是我前进最大的动力！
技术的探索永无止境! 道阻且长，行则将至！后续我会给大家带来更多优质博客内容，欢迎关注我的CSDN账号，我们一同成长！
(～￣▽￣)～