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经典的逻辑函数化简算法 Espresso

news 2025/10/9 7:56:07

经典的逻辑函数化简算法 Espresso。它虽然不是“唯一”的化简算法，但因其高效和强大的启发式能力，成为了该领域的标杆和事实标准。

1. 核心思想

Espresso 的核心思想不是像奎因-麦克卢斯基算法那样追求绝对的数学最小化（这在计算上非常昂贵），而是通过一系列局部变换和启发式搜索，快速找到一个接近最优的、非常简化的两级逻辑电路（与-或式或或-与式）。它直接处理立方体，非常适合于计算机实现。

基本概念：

立方体

代表一个乘积项。例如，在一个三变量函数中，立方体 10- 表示 A·C'（其中 - 表示该变量不出现，1 表示原变量，0 表示反变量）。

覆盖

一组立方体的集合，完整地描述了逻辑函数。覆盖中的每一个立方体都对应与或表达式中的一个乘积项。

2. Espresso 的主要变换算法原理

Espresso 算法的核心是三个主要的变换步骤，它们被循环迭代执行，直到覆盖不再改善为止。这三个步骤是：扩张、不可略约化、降低。

步骤一：扩张

目标

让每个立方体变得尽可能大（即覆盖更多的最小项），从而可能消除掉整个立方体。

原理

对于一个立方体，尝试将其中的某个 0 或 1 变成 -（不关心）。如果这个新的、更大的立方体所覆盖的所有最小项，仍然被整个覆盖所包含（即不包含任何不属于函数的“关断”项），那么这个扩张就是合法的。通过扩张，小的立方体会被大的立方体“吞并”，从而可以被移除。

举例说明：

假设我们有一个三变量函数的覆盖：
F = { 100, 101, 110, 111 }

观察立方体 100。它覆盖了最小项 A'B'C'
尝试扩张：将第一位 1 变成 -。得到新立方体 -00
检查 -00 覆盖了哪些最小项？000 和 100
- 100 本来就在函数中
- 000 在不在函数中？查看原始覆盖，没有 000，所以这个扩张是非法的，因为它引入了关断项
尝试另一个扩张：将第三位 0 变成 -。得到新立方体 10-
检查 10- 覆盖了 100 和 101
- 100 在覆盖中
- 101 也在覆盖中
- 没有引入任何关断项。所以这个扩张是合法的
用 10- 替换原来的 100 和 101。现在覆盖变为 F = { 10-, 110, 111 }
继续扩张 110。将第三位 0 变成 -，得到 11-。它覆盖 110 和 111，都在覆盖内。合法
用 11- 替换 110 和 111
最终覆盖变为 F = { 10-, 11- }

可以看到，通过扩张，我们从4个立方体简化到了2个立方体。10- 就是 A·B'，11- 就是 A·B

步骤二：不可略约化

目标

找到当前覆盖的一个“最小”子集，即尝试移除某些立方体，看剩下的覆盖是否依然能完整表示该函数。

原理

按某种顺序（通常是启发式的，如从最难被其他立方体覆盖的项开始）检查覆盖中的每一个立方体。如果移除该立方体后，剩下的覆盖依然能覆盖该立方体所覆盖的所有最小项，那么这个立方体就是“可略约的”，可以安全地移除。

举例说明：

承接上例，我们有一个非常简单的覆盖：F = { 10-, 11- }

尝试移除 10-
- 10- 覆盖了 100 和 101
- 检查剩下的覆盖 { 11- } 能否覆盖 100 和 101？
  - 11- 覆盖 110 和 111
  - 它无法覆盖 100 和 101
- 所以 10- 是不可略约的，必须保留
尝试移除 11-
- 11- 覆盖了 110 和 111
- 检查剩下的覆盖 { 10- } 能否覆盖 110 和 111？
  - 10- 覆盖 100 和 101
  - 无法覆盖 110 和 111
- 所以 11- 也是不可略约的
当前覆盖 { 10-, 11- } 已经是不可略约覆盖

再举一个需要略约的例子。假设有覆盖 F = { 00-, 1-1, -11 }

尝试移除 -11
- -11 覆盖 011 和 111
- 检查 { 00-, 1-1 } 能否覆盖 011 和 111？
  - 011 不被 00-（覆盖000,001）覆盖，也不被 1-1（覆盖101,111）覆盖。失败。
- 所以 -11 不可略约。
尝试移除 1-1
- 1-1 覆盖 101 和 111。
- 检查 { 00-, -11 } 能否覆盖 101 和 111？
  - 101 不被 00- 覆盖，也不被 -11（覆盖011,111）覆盖。失败。
- 所以 1-1 不可略约。
尝试移除 00-
- 00- 覆盖 000 和 001。
- 检查 { 1-1, -11 } 能否覆盖 000 和 001？
  - 000 和 001 显然不被 1-1 或 -11 覆盖。失败。
看起来都不可略约？但注意，我们的覆盖可能不是最简的。实际上，-11 已经覆盖了 111，而 1-1 也覆盖了 111，存在冗余。IRR 的步骤顺序很重要。如果我们最后检查 1-1，并且发现 111 已经被 -11 覆盖，101 是唯一由 1-1 独覆盖的最小项吗？不是，101 只被 1-1 覆盖。所以它也不能被移除。

这个例子说明了 IRR 的复杂性，它依赖于一个“目标覆盖”来计算独覆盖顶点。在 Espresso 的流程中，EXPAND 之后可能已经消除了很多冗余，IRR 再进行最后的精简。

步骤三：降低

目标

为下一次迭代的“扩张”创造机会。通过有意地将立方体“缩小”，可能会在后续的扩张中导向一个更全局优化的解。

原理

与扩张相反。尝试将立方体中的 - 变回 0 或 1，使其仅覆盖其“独覆盖顶点”。如果一个最小项只被一个立方体覆盖，则该最小项称为该立方体的独覆盖顶点。降低操作确保该立方体仍然覆盖其至少一个独覆盖顶点。这个被缩小了的立方体在下一轮扩张时，有可能朝着一个新的、更好的方向扩张，从而找到更优的覆盖。

举例说明：

假设一个覆盖 F = { 1-1, -11 }（这已经比较简化了）。

找出每个立方体的独覆盖顶点。
- 1-1 覆盖了 101 和 111。
  - 101 只被 1-1 覆盖吗？是的（-11 覆盖 011 和 111，不覆盖 101）。所以 101 是 1-1 的独覆盖顶点。
- -11 覆盖了 011 和 111。
  - 011 只被 -11 覆盖吗？是的（1-1 不覆盖 011）。所以 011 是 -11 的独覆盖顶点。
  - 111 被两个立方体同时覆盖，所以它不是独覆盖顶点。
执行降低。
- 对于 1-1，为了使其仍然覆盖独覆盖顶点 101，我们可以将其降低为 101。
- 对于 -11，为了使其仍然覆盖独覆盖顶点 011，我们可以将其降低为 0-11（即 011）。
现在覆盖变成了 F = { 101, 011 }。这看起来是更差了。
但关键是下一步：现在进入下一轮循环，对 101 和 011 进行扩张。
扩张 101：
- 尝试将第一位 1 变成 -，得到 -01。它覆盖 001 和 101。001 是关断项吗？我们需要参考原始函数。假设不是，那么这是一个合法的、全新的扩张方向！最终可能扩张成一个像 -01 这样的项。
- 同样，扩张 011 可能得到 -11。
新的覆盖可能变为 F = { -01, -11 }，这可能比最初的 { 1-1, -11 } 更好（例如，文字总数更少）。

3. 完整的 Espresso 算法流程

Espresso 通过循环调用这三个步骤，并辅以输出矫正来保证结果正确。

初始化：读入函数的初始覆盖（例如，由最小项组成）。
开始循环：
a. 扩张：对覆盖中的立方体进行扩张，使其尽可能大，消除冗余。
b. 输出矫正：检查当前的覆盖是否依然正确地表示了原始函数。因为扩张和后续操作都是在“ON-Set”（函数值为1的集合）和“DC-Set”（不关心项集合）上进行的，需要确保没有覆盖到“OFF-Set”（函数值为0的集合）。这一步是质量的保证。
c. 不可略约化：从当前覆盖中移除所有冗余的立方体。
d. 降低：缩小立方体，为下一次迭代寻找新的优化路径。
终止条件：当一次完整的循环后，覆盖没有再发生任何改善时，算法停止。