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前言

  递归（Recursion）：指的是一种通过重复将原问题分解为同类的子问题而解决的方法。在绝大数编程语言中，可以通过在函数中再次调用函数自身的方式来实现递归。
  举个简单的例子来了解一下递归算法。比如阶乘的计算方法在数学上的定义为：

def fact(n):if n == 0:return 1return n * fact(n - 1)

以 n=6为例，上述代码中阶乘函数的计算过程如下：

fact(6)
= 6 * fact(5)
= 6 * (5 * fact(4))
= 6 * (5 * (4 * fact(3)))
= 6 * (5 * (4 * (3 * fact(2))))
= 6 * (5 * (4 * (3 * (2 * fact(1)))))
= 6 * (5 * (4 * (3 * (2 * (1 * fact(0))))))
= 6 * (5 * (4 * (3 * (2 * (1 * 1)))))
= 6 * (5 * (4 * (3 * (2 * 1))))
= 6 * (5 * (4 * (3 * 2)))
= 6 * (5 * (4 * 6))
= 6 * (5 * 24)
= 6 * 120
= 720

  根据上面的描述，我们可以把阶乘函数的递归计算过程分为两个部分：

1. 先逐层向下调用自身，直到达到结束条件（即n==0。
2. 然后再向上逐层返回结果，直到返回原问题的解（即返回 fact(6)==720
   这两个部分也可以叫做「递推过程」和「回归过程」，如下面两幅图所示：
   

  如上面所说，我们可以把「递归」分为两个部分：「递推过程」和「回归过程」。
  • 递推过程：指的是将原问题一层一层地分解为与原问题形式相同、规模更小的子问题，直到达到结束条件时停止，此时返回最底层子问题的解。
  • 回归过程：指的是从最底层子问题的解开始，逆向逐一回归，最终达到递推开始时的原问题，返回原问题的解。
  「递推过程」和「回归过程」是递归算法的精髓。从这个角度来理解递归，递归的基本思想就是： 把规模大的问题不断分解为子问题来解决。
  同时，因为解决原问题和不同规模的小问题往往使用的是相同的方法，所以就产生了函数调用函数自身的情况，这也是递归的定义所在。

递归和数学归纳法

  递归的数学模型其实就是「数学归纳法」。这里简单复习一下数学归纳法的证明步骤：
  1.证明当n=b （b 为基本情况，通常为 0 或者 1）时，命题成立。
  2.证明n>b 时,假设n=k时命题成立，那么可以推导出n=k+1时命题成立；这一步不是直接证明的，而是先假设n=k时命题成立，利用这个条件，可以推论出n=k+1时命题成立。
  通过以上两步证明，就可以说：当n>=b 时，命题都成立。
  我们可以从「数学归纳法」的角度来解释递归：
  1.递归终止条件：数学归纳法第一步中的n=b，可以直接得出结果。
  2.递推过程：数学归纳法第二步中的假设部分（假设n=k时命题成立），也就是假设我们当前已经知道了n=k时的计算结果。
  3.回归过程：数学归纳法第二步中的推论部分,根据n=k推论出n=k+1）也就是根据下一层的结果，计算出上一层的结果。

递归三步走

  递归的基本思想就是： 把规模大的问题不断分解为子问题来解决。 那么，在写递归的时候，我们可以按照这个思想来书写递归，具体步骤如下：
  1. 写出递推公式：找到将原问题分解为子问题的规律，并且根据规律写出递推公式。
  2. 明确终止条件：推敲出递归的终止条件，以及递归终止时的处理方法。
  3. 将递推公式和终止条件翻译成代码：
    1. 定义递归函数（明确函数意义、传入参数、返回结果等）。
    2. 书写递归主体（提取重复的逻辑，缩小问题规模）。
    3. 明确递归终止条件（给出递归终止条件，以及递归终止时的处理方法）。

递归的注意点

避免栈溢出

  在程序执行中，递归是利用堆栈来实现的。每一次递推都需要一个栈空间来保存调用记录，每当进入一次函数调用，栈空间就会加一层栈帧。每一次回归，栈空间就会减一层栈帧。由于系统中的栈空间大小不是无限的，所以，如果递归调用的次数过多，会导致栈空间溢出。
  为了避免栈溢出，我们可以在代码中限制递归调用的最大深度来解决问题。当递归调用超过一定深度时（比如 100）之后，不再进行递归，而是直接返回报错。
  当然这种做法并不能完全避免栈溢出，也无法完全解决问题，因为系统允许的最大递归深度跟当前剩余的占空间有关，事先无法计算。
  如果使用递归算法实在无法解决问题，我们可以考虑将递归算法变为非递归算法（即递推算法）来解决栈溢出的问题。

避免重复运算

  在使用递归算法时，还可能会出现重复运算的问题。
  比如斐波那契数列的定义是

  从图中可以看出：想要计算 f(5)，需要先计算 f(3) 和 f(4)，而在计算 f(4) 时还需要计算 f(3)，这样f(3) 就进行了多次计算。同理 f(0)、f(1)、f(2) 都进行了多次计算，就导致了重复计算问题。
  为了避免重复计算，我们可以使用一个缓存（哈希表、集合或数组）来保存已经求解过的 f(k) 的结果，这也是动态规划算法中的做法。当递归调用用到f(k) 时，先查看一下之前是否已经计算过结果，如果已经计算过，则直接从缓存中取值返回，而不用再递推下去，这样就避免了重复计算问题。

题目

斐波那契数

  递推三步走策略，写出对应的递归代码。
  1写出递推公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)
  2 明确终止条件：f(0)=0,f(1)=1
  3 翻译为递归代码：
    1. 定义递归函数：fib(self, n) 表示输入参数为问题的规模 n，返回结果为第 n 个斐波那契数。
    2. 书写递归主体：return self.fib(n - 1) + self.fib(n - 2)。
    明确递归终止条件：
    1. if n == 0: return 0
    2. if n == 1: return 1

class Solution:def fib(self, n: int) -> int:if n == 0:return 0if n == 1:return 1return self.fib(n - 1) + self.fib(n - 2)

反转链表

  描述：给定一个单链表的头节点 head。
  要求：将该单链表进行反转。可以迭代或递归地反转链表。
示例
输入：head = [1,2,3,4,5]
输出：[5,4,3,2,1]
解释：
翻转前 1->2->3->4->5->NULL
反转后 5->4->3->2->1->NULL

具体做法如下：

1. 首先定义递归函数含义为：将链表反转，并返回反转后的头节点。
2. 然后从 head.next 的位置开始调用递归函数，即将 head.next 为头节点的链表进行反转，并返回该链表的头节点。
3. 递归到链表的最后一个节点，将其作为最终的头节点，即为 new_head。
4. 在每次递归函数返回的过程中，改变 head 和 head.next 的指向关系。也就是将 head.next 的next指针先指向当前节点 head，即 head.next.next = head 。
5. 然后让当前节点 head 的 next 指针指向 None，从而实现从链表尾部开始的局部反转。
6. 当递归从末尾开始顺着递归栈的退出，从而将整个链表进行反转。
7. 最后返回反转后的链表头节点 new_head。

1.class Solution:
2.    def reverseList(self, head: ListNode) -> ListNode:
3.        if head == None or head.next == None:
4.            return head
5.        new_head = self.reverseList(head.next)
6.        head.next.next = head
7.        head.next = None
8.        return new_head