P9751 [CSP-J 2023] 旅游巴士

P9751 [CSP-J 2023] 旅游巴士

题目描述

小 Z 打算在国庆假期期间搭乘旅游巴士去一处他向往已久的景点旅游。

旅游景点的地图共有 $n$ 处地点，在这些地点之间连有 $m$ 条道路。其中 $1$ 号地点为景区入口，$n$ 号地点为景区出口。我们把一天当中景区开门营业的时间记为 $0$ 时刻，则从 $0$ 时刻起，每间隔 $k$ 单位时间便有一辆旅游巴士到达景区入口，同时有一辆旅游巴士从景区出口驶离景区。

所有道路均只能单向通行。对于每条道路，游客步行通过的用时均为恰好 $1$ 单位时间。

小 Z 希望乘坐旅游巴士到达景区入口，并沿着自己选择的任意路径走到景区出口，再乘坐旅游巴士离开，这意味着他到达和离开景区的时间都必须是 $k$ 的非负整数倍。由于节假日客流众多，小 Z 在旅游巴士离开景区前只想一直沿着景区道路移动，而不想在任何地点（包括景区入口和出口）或者道路上停留。

出发前，小 Z 忽然得知：景区采取了限制客流的方法，对于每条道路均设置了一个
“开放时间”$a_i$，游客只有不早于 $a_i$ 时刻才能通过这条道路。

请帮助小 Z 设计一个旅游方案，使得他乘坐旅游巴士离开景区的时间尽量地早。

输入格式

输入的第一行包含 $3$ 个正整数 $n,m,k$，表示旅游景点的地点数、道路数，以及旅游巴士的发车间隔。

输入的接下来 $m$ 行，每行包含 $3$ 个非负整数 $u_i,v_i,a_i$，表示第 $i$ 条道路从地点 $u_i$ 出发，到达地点 $v_i$，道路的“开放时间”为 $a_i$。

输出格式

输出一行，仅包含一个整数，表示小 Z 最早乘坐旅游巴士离开景区的时刻。如果不存在符合要求的旅游方案，输出 -1。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 5 3
1 2 0
2 5 1
1 3 0
3 4 3
4 5 1

输出 #1

6

说明/提示

【样例 #1 解释】

小 Z 可以在 $3$ 时刻到达景区入口，沿 $1\to 3\to 4\to 5$ 的顺序走到景区出口，并在 $6$ 时刻离开。

【样例 #2】

见附件中的 bus/bus2.in 与 bus/bus2.ans。

【数据范围】

对于所有测试数据有：$2\le n\le 10^4$，$1\le m\le 2\times 10^4$，$1\le k\le 100$，$1\le u_i,v_i\le n$，$0\le a_i\le 10^6$。

测试点编号	$n\le$	$m\le$	$k\le$	特殊性质
$1\sim 2$	$10$	$15$	$100$	$a_i=0$
$3\sim 5$	$10$	$15$	$100$	无
$6\sim 7$	$10^4$	$2\times 10^4$	$1$	$a_i=0$
$8\sim 10$	$10^4$	$2\times 10^4$	$1$	无
$11\sim 13$	$10^4$	$2\times 10^4$	$100$	$a_i=0$
$14\sim 15$	$10^4$	$2\times 10^4$	$100$	$u_i\le v_i$
$16\sim 20$	$10^4$	$2\times 10^4$	$100$	无

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+5;
int n,//景点数 <=1e4
m,//道路数 2e4
k, //从0时刻开始，每隔k时间发一趟车。<=100
t[101][N];
/*
到达时间晚于开放时间，不用等就能走进景点道路。
早了，就坐下一趟公交来景区。
无限时间能达目的。关键我们要明确是不是k的整数倍时到目的地。
所以要我们需要知道哪个状态(余数t%k)下到最早到达哪个景点。
t[rt%k][x]=rt
「以 rt%k 为周期状态（即到达时间 rt 除以 k 的余数为 rt%k）时，到达景点 x 的最早时间 rt」。
这为避免重复计算，把无限时间映射到0~k-1有限状态内(t%k)就是状态压缩与去重
确保不同状态下到达景点只留下最早时间，实质就是去重和剪枝
这样用宽搜找到找到到达目的地的最短时间
*/
vector<pair<int,int> > v[N];//哪个时刻开放从哪个景点出发到达哪个景点的道路
queue<pair<int,int> > q;//款搜队列，哪个时刻从哪个景点出发
int main(){
//freopen(“data.cpp”,“r”,stdin);
cin>>n>>m>>k;
for(int i=1;i<=m;i++){
int s,e,x;
cin>>s>>e>>x;
v[s].push_back({x,e});//t时间开放从u到v的道路
}
memset(t,0x3f3f3f3f,sizeof(t));//到每个景点都需无穷大时间
q.push({0,1});//0时刻从1景点出发
while(!q.empty()){//只要款搜队列非空就循环
int st=q.front().first,//出发时间
sv=q.front().second,//出发景点
rt;
q.pop();//去除队首
for(int i=0;i<v[sv].size();i++){//遍历从sv出发的道路
int et=v[sv][i].first,//到ev道路的开放时间
ev=v[sv][i].second; //该道路是sv出发到ev
if(st>=et)rt=st+1;//该道路开放后才出发，道路耗时1时间，st+1到达ev
else rt=ceil((et-st)*1.0/k)*k+st+1;//还没开放就到了，就得k的最少整数倍(其他时间不变，只是选了下个航班)
//比如周五月开学，他周一来不行，又等不了，所以改成一周后的周一来，这时就可以不等就上学
//到达ev的暂时时间是ceil((st-et)*1.0/k)*k+st
if(t[rt%k][ev]>rt){
t[rt%k][ev]=rt;//各景点间有路，都可达。关键是k的整数倍时间可达，而且是最小值。
q.push({rt,ev});//新的款搜点
}
}
}
if(t[0][n]==0x3f3f3f3f)cout<<-1;
else cout<<t[0][n];
return 0;
}

思路

单源最短路径算法
状态压缩去重剪枝宽度优先搜索
该算法时间复杂度为 O(k·(n+m))，内核是「基于周期状态压缩的BFS剪枝」，底层原理可拆解为两点：

1. 状态总数被压缩至有限集：因发车周期为k，所有时间可通过「t%k」映射到0~k-1的k种余数状态，每个景点仅需维护k种状态（对应k个余数），总状态数上限为k·n，避免无限时间带来的无限状态；
2. 每个状态与边仅处理一次：BFS中，每个状态（景点x+余数r）仅在首次找到「最早到达时间」时入队处理，后续更晚的同状态会被跳过；且每条边（共m条）仅会被其起点景点的k种状态处理，总边操作量上限为k·m。

两者叠加，总操作量被严格限制在k·(n+m)，实现高效搜索。