【算法】树上启发式合并 (CCPC2020长春 F. Strange Memory)

F. Strange Memory

思路：

题目要求计算树上所有满足 $a_i\oplus a_j=a_{\text{lca}(i,j)}$ 的点对 $(i,j)$ 的 $i\oplus j$ 值之和。直接枚举所有点对的时间复杂度为 $O(n^2)$，显然会超时。因此我们需要一种更高效的算法来解决这个问题。

核心思路：树上启发式合并（DSU on Tree）
我们采用树上启发式合并算法来解决这个问题，其主要思想如下：

1. 预处理重儿子：

   • 首先进行一次 DFS，计算每个节点的子树大小并标记重儿子（子树最大的儿子）

2. 分治处理：

   • 对于每个节点 u，先递归处理其所有轻儿子，并清除它们的影响
   • 然后处理重儿子，保留其影响
   • 将当前节点 u 加入集合
   • 遍历每个轻儿子子树：
     • 先统计该子树与已有集合（重儿子子树和已处理的轻儿子）形成的点对贡献
     • 再将该子树加入集合

3. 贡献统计：

   • 使用映射 map<int, vector<int>> M 存储权值到节点列表的映射
   • 对于当前节点 u（作为 LCA），统计满足 $a_i\oplus a_j=a_u$ 的点对
   • 具体实现时，对于轻儿子子树中的节点 x，查找 M 中键为 $a_u\oplus a_x$ 的节点列表，计算 $x\oplus y$ 并累加

4. 时间复杂度： $O(n{\log }^{2}n)$ ， 通过重用重儿子子树信息避免重复计算 $O(n\log n)$ , map操作是 $O(\log n)$ 的。
   树上启发式合并是解决子树统计问题的强大工具，通过重用重儿子子树信息显著降低时间复杂度。本题中，我们利用该算法高效地统计了满足特定条件的点对异或和，避免了 $O(n^2)$ 的暴力枚举。

代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
#define int long long
#define pb push_back
#define pii pair<int, int>
#define FU(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define FD(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
const int MOD = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e6 + 5, MAXN = maxn;
int n;
int ans = 0;
int a[maxn];
vector<int> ed[maxn];
int hc[maxn];
int cs[maxn];
map<int, vector<int>> M;
int tans = 0;void predfs(int x, int f) {cs[x] = 1;int ms = 0;for (int e : ed[x]) {if (e == f)continue;predfs(e, x);cs[x] += cs[e];if (cs[e] > ms) {ms = cs[e];hc[x] = e;}}
}void add(int x, int f, int rt, bool mg) {if (mg) { // 合并M[a[x]].pb(x);} else { // 统计for (int e : M[a[x] ^ a[rt]]) {ans += e ^ x;}}for (int e : ed[x]) {if (e == f)continue;add(e, x, rt, mg);}
}void dfs(int x, int f, int k) {for (int e : ed[x]) {if (e == f || e == hc[x])continue;dfs(e, x, 0);}if (hc[x]) {dfs(hc[x], x, 1);}M[a[x]].pb(x);for (int e : ed[x]) {if (e == f || e == hc[x])continue;add(e, x, x, 0);add(e, x, x, 1);}if (!k) {M.clear();}
}void solve() {ans = 0;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i];}for (int i = 1; i < n; i++) {int u, v;cin >> u >> v;ed[u].pb(v);ed[v].pb(u);}predfs(1, 0);dfs(1, 0, 0);cout << ans << endl;
}signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("../in.txt", "r", stdin);
#endifcin.tie(0)->ios::sync_with_stdio(0);int T = 1;// cin >> T;while (T--) {solve();}return 0;
}