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【计算几何 | 数学】向量的妙用（判断线段与圆是否相交求两条线段交点点到线段的距离）附例题

news 2025/10/5 13:52:02

前导（为什么要使用向量 & 朴素方法）

在做计算几何的题目时，比起用点到直线的距离公式，

我们会更倾向于使用向量（点积或者叉积）。

1.判断线段与圆是否相交

举个例子，我们需要判断一条线段与圆是否相交，有以下几种情况：

如果不使用向量，我们需要先分类：

（1）线段两端点都在圆外

（2）线段两端点都在圆内

（3）线段一个端点在圆外，另一个端点在圆内

第二种情况是完全相交，直接返回 1，而其它两种情况还要分类：

（1）圆心可以垂直投影到线段

（2）距离圆心最近的点是线段的两端

求出这个线段上距离圆心最近的点到圆心的距离 L，如果 L 小于半径，则线段与圆相交。

可以发现分类分的特别痛苦。

2.求两条线段的交点

再举个例子，求两条线段的交点。

看上去只用代入两条线段所属直线的方程就够了，但是：

（1）数据可能是浮点，要用 exgcd（拓展欧几里得算法）

（2）两条直线的斜率极其接近， $\frac{b_2-b_1}{k_2-k_1}$ 下面的分母会很小，除以的结果会很大，精度丢失

（3）两条直线重合（斜率相减的绝对值小于一个精度阈值），需要特判重合或者平行

求出两条直线的交点后，还要判断这个交点在不在两条线段上。

还是很麻烦。

向量

指路大佬博客（初步了解或者复习）：向量、数量积、向量积-CSDN博客

建议所有人都看一下，提前有个底。

1.叉积与面积

我们一般在计算几何提到叉积，不是指数学意义上的三维垂直叉积（下图中的紫色向量）。

而是指图中浅紫色四边形的面积：

向量 $a$ 和向量 $b$ 的叉积写作：

也是：

$x_1y_2-x_2y_1$

（其中 $\left \| a \right \|$ 为向量 $a$ 的模长（就是向量的大小 / 长度）， $\theta$ 为两向量的夹角）

当叉积小于 $0$ ，代表 $a$ 在 $b$ 的左边。

当叉积等于 $0$ ，当表 $a$ 和 $b$ 相等。

当叉积大于 $0$ ，代表 $a$ 在 $b$ 的右边。

（如图就是 $a$ 在 $b$ 的左边，取面积的时候一般取绝对值）

第一个公式很好理解，图中绿色的 $\left \| a \right \|*sin\theta$ 是平行四边形的高。

$\left \| b \right \|$ 是底，两者相乘就是平行四边形的面积。

那 $x_1y_2-x_2y_1$ 怎么解释呢？

将平行四边形分割：

发现上面那个黄色三角形和下面的一模一样，可以移下来。

再把右边多出来的紫色小三角形移到左边，发现剩余的白色区域可以拼出最左边的白色长方形。

这个白色长方形的宽是 $y_2*\frac{x_1}{y_1}$ ，长是 $y_1$ 。

那么整体紫色面积就等于： $y_1x_2-y_1*y_2*\frac{x_1}{y_1}=|x_1y_2-x_2y_1|$

说了这么多，只是想你记住：

设向量 $a$ 的顶点为 $(x_1,y_1)$ ，向量 $b$ 的顶点为 $(x_2,y_2)$ 。

那么两个向量的叉积，也就是两者围成的平行四边形的面积（要取绝对值）为：

$x_1y_2-x_2y_1$

叉积的正负遵循右手法则：

当叉积小于 $0$ ，代表 $a$ 在 $b$ 的左边。

当叉积等于 $0$ ，当表 $a$ 和 $b$ 相等。

当叉积大于 $0$ ，代表 $a$ 在 $b$ 的右边。

1.5.叉积的运用

回到我们开头举的第二个例子：

求两条线段的交点。

请看，图中深蓝 $v$ 和红色 $w$ 的是要计算交点的向量，深紫色 $u$ 是 $w$ 的起点到 $v$ 的起点的向量。

（后面讲这个 $u$ 有什么作用）

浅蓝是向量 $v$ 到交点的延长线，粉色是向量 $w$ 到交点的延长线：

总体思路：

构造出两个同底的平行四边形，通过它们高的比求出斜边的比。

进而求出向量 $v$ 延长到交点的长度与向量 $v$ 的模长比。

我们知道叉积的绝对值，就是俩向量构成的平行四边形面积的值，所以也就有：

（淡紫色的平行四边形是 $u*w$ ，浅黄色的平行四边形是 $w*v$ ）

设 $t=\frac{u*w}{w*v}$ ，也就是俩平行四边形面积比，

又因为俩四边形底相同，所以面积比就是与底相对应的高的比。

（蓝色加粗的是 $u*w$ 的高，红色加粗的是 $w*v$ 的高）

我们又发现，因为浅蓝色 $a'$ 等于深蓝色 $v$ ，

所以可以把那条红色的高平移到粉色 $b'$ 下面，刚好接着向量的终点：

平移过来后，我们发现新构成的俩三角形 $A$ 和 $B$ 是相似的，

而它们的高比就等于斜边比，也就是向量 $v$ 延长到交点的长度与向量 $v$ 的模长比。

知道了这个比 $t=\frac{u*w}{w*v}$ ，就可以向量 $v$ 的起点 $v.s$ 加上向量 $v*t$ 得到交点。

代码：

//以下 operator都是重载运算符 
point operator+(point a, point b) {  //向量相加 return {a.x + b.x, a.y + b.y};
}point operator-(point a, point b) {  //向量相减 return {a.x - b.x, a.y - b.y};
}point operator*(point a, double t) {  //向量数乘 return {a.x * t, a.y * t};
}double operator*(point a, point b) {  //叉积 return a.x * b.y - a.y * b.x;
}point cross(line a, line b) { //求俩向量交点 point u = a.s - b.s;   // b 起点到 a 起点 point v = a.e - a.s;   // a 起点到 a 终点 point w = b.e - b.s;   // b 起点到 b 终点 double t = (u * w) / (w * v);return a.s + v * t;
}

例题：【超多图！笔记】[HNOI2008] 洛谷P3194 水平可见直线 [半平面交]_洛谷b3194-CSDN博客

2.点积与投影

还是这张图：

定义两个向量的点积为： $a\cdot b=x_1*x_2+y_1*y_2$

同时几何定义里也可以这么表示： $a\cdot b=|a|*|b|*cos\theta$

（点积几何意义：向量 $a$ 在向量 $b$ 上的投影长度与 $b$ 模长之积）

和叉积不同，点积的计算结果是一个标量（数值）而非向量。

这个数值表示向量 $a$ 和向量 $b$ 的相似度，数值越大两者越相似。

关于这个 $|a|*|b|*cos\theta$ 和这个 $x_1*x_2+y_1*y_2$ 为什么相等，需要用到余弦定理：

考虑由 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 和 $\vec{a}-\vec{b}$ 构成的三角形，满足：

$|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}|cos\theta$

（下面就是余弦定理的百度百科，我懒得写了）

$|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}|cos\theta$

把这个式子的左边展开：

$|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}*\vec{b}$

那么就有：

$|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}|cos\theta$

所以：

$\vec{a}*\vec{b}=x_1*x_2+y_1*y_2=|\vec{a}||\vec{b}|cos\theta$

2.5.点积的运用

求点到直线的距离。

我们想求点 P 到线段 AB 的距离。

如果 P 在 AB 中间：

我们只要求出 P 在 AB 上的投影点 q，再求出 Pq 的长度就是距离。

考虑 AP 和 AB 的点积， $\vec{AB}*\vec{AP}=|\vec{AB}||\vec{AP}|cos\theta$ ，其中 $|\vec{AP}|cos\theta$ 就是 Aq 的长度。

$|\vec{Aq}|=\vec{AB}*\vec{AP}/|\vec{AB}|$

那么只要求出 Aq 的长度与 AB 长度的比值 t，就可以进一步求出 Pq。

$t=|\vec{Aq}|/|\vec{AB}|=\vec{AB}*\vec{AP}/|\vec{AB}|^2$

$A+\vec{AB}*t=q$

$P-q=dis(P,AB)$

再看看其他两种情况：

P 在 A 的左边，距离为 PA。

很明显，这里 $\vec{AB}*\vec{AP}$ 是个负数， $t=\vec{AB}*\vec{AP}/|\vec{AB}|^2$ 也是个负数。

那只要特判比值 $t$ 是不是负数，如果是就直接输出 $|\vec{AP}|$ 。

P 在 B 的右边，距离为 PB。

这里的 $|\vec{Aq}|>|\vec{AB}|$ ，所以 $t=\vec{AB}*\vec{AP}/|\vec{AB}|^2$ 大于 1。

那只要特判比值 $t$ 是不是大于 1，如果是就直接输出 $|\vec{BP}|$ 。

代码：

double calc_len(point p) {return sqrt( p.x * p.x + p.y * p.y );
}// 下面这仨都是重载向量运算符 
point operator+(point a, point b) {return {a.x + b.x, a.y + b.y};
}point operator-(point a, point b) {return {a.x - b.x, a.y - b.y};
}double operator*(point a, point b) {   //点积 return a.x * b.x + a.y * b.y;
}double calc_dis(point p, line li) {point a = li.a, b = li.b;point ap = p - a, ab = b - a, bp = p - b;double t = ap * ab / (ab.x * ab.x + ab.y * ab.y);    // 计算投影比例 t = (ap·ab)/|ab|^2if (t < -eps) {    // 投影点在 a 点左侧return calc_len(ap);}if (t - 1 > eps) {    // 投影点在 b 点右侧return calc_len(bp);}// 投影点 q 在线段 ab上point pp = {ab.x * t, ab.y * t};point q = a + pp;       return calc_len(p - q);
}