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【Leetcode】11. 盛最多水的容器

news 2025/10/5 13:44:34

文章目录

题目
思路
- 数学证明
- - 证明1: 局部正确性（为什么移动短板？）
  - 证明2: 全局完整性（不会错过最优解）
代码
- C++
- Java
- Python
复杂度分析
- 时间复杂度
- 空间复杂度
总结

题目

给你一个长度为n的整数数组height，其中height[i]表示坐标(i, height[i])处的一条垂直线（柱子）。你需要选择两条垂直线，与x轴共同构成一个容器，求出这个容器能盛的最多水量（面积）。

注意：

容器不能倾斜。
水量 = min(height[i], height[j]) * (j - i)，其中i < j。
返回最大水量。

示例：

输入：height = [1,8,6,2,5,4,8,3,7]
输出：49
解释：选择索引1（高度8）和索引8（高度7），min(8,7)=7，宽度=7，面积=49。

约束：

2 <= n <= 10^5
0 <= height[i] <= 10^4

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思路

这个问题可以使用双指针法高效求解，时间复杂度为O(n)。核心思想是从数组两端开始，使用两个指针向中间移动，总是移动高度较小的指针（短板），因为它限制了当前面积。通过贪心策略，逐步逼近最大面积。

初始化左指针l = 0，右指针r = n-1，最大面积ans = 0。
while (l < r)：
- 计算当前面积：area = min(height[l], height[r]) * (r - l)。
- 更新ans = max(ans, area)。
- 如果height[l] <= height[r]，则l++；否则r--。
返回ans。

这种方法从最大宽度开始，移动短板以追求更高的高度，从而有机会增大面积。下面我们通过数学证明来验证其正确性。

数学证明

双指针法的正确性基于贪心和反证法。我们证明：(1) 局部移动正确；(2) 全局不会错过最优解。

证明1: 局部正确性（为什么移动短板？）

假设当前l和r，且height[l] <= height[r]（对称情况类似）。

当前面积A = height[l] * (r - l)。
如果移动长板（r--到r'）：
- 新高度min' = min(height[l], height[r']) <= height[l]。
- 新宽度(r' - l) = (r - l) - 1 < 原宽度。
- 新面积A' <= height[l] * ((r - l) - 1) < A（严格小于）。
- 结论：无益，不会产生更大面积。
如果移动短板（l++到l'）：
- 新高度min' = min(height[l'], height[r])，可能> height[l]。
- 新面积可能> A。

通过归纳：初始步正确，每步移动短板保持性质，整个算法局部正确。

证明2: 全局完整性（不会错过最优解）

假设存在最优对(i, j)，面积A_max = min(height[i], height[j]) * (j - i) 是全局最大。我们证明算法必在某步计算它。

反证假设：算法从未计算(i, j)。
算法性质：l从0单增，r从n-1单减；初始l <= i < j <= r。
关键：算法只“跳过”不可能是最优的柱子对。
- 令(i, j)为最优，假设height[i] <= height[j]。
- 当l第一次到达i时，r必然还在 >= j（因为r只在height[r]是短板时减小，且height[j] >= height[i]`）。
- 然后，继续移动，直到r = j，此时计算(i, j)。
归纳证明：
- 基例：n=2，初始计算。
- 假设对<n成立。对n，第一步计算(0, n-1)。如果它是最大，完成；否则移动短板，子数组由假设覆盖。

结论：所有可能的最优对都会被访问，算法正确。

代码

C++

int maxArea(int* height, int heightSize) {int l = 0, r = heightSize - 1;int ans = 0;int min = 0, area = 0;while (l < r) {if (height[l] < height[r]) min = height[l];else min = height[r];area = min * (r - l);if (ans < area) ans = area;if (height[l] <= height[r]) {++l;} else {--r;}}return ans;
}

Java

class Solution {public int maxArea(int[] height) {int l = 0;int r = height.length - 1;int ans = 0;while (l < r) {int minHeight = Math.min(height[l], height[r]);int area = minHeight * (r - l);ans = Math.max(ans, area);if (height[l] <= height[r]) {l++;} else {r--;}}return ans;}
}

Python

class Solution:def maxArea(self, height: List[int]) -> int:l, r = 0, len(height) - 1ans = 0while l < r:min_height = min(height[l], height[r])area = min_height * (r - l)ans = max(ans, area)if height[l] <= height[r]:l += 1else:r -= 1return ans