CodeForces 20251003 - ?

1. 2152F Triple Attack

超级倍增题

题意

若一个可重集任意三个元素的最大值与最小值之差大于给定常数 $z$，那么称其是安全的。现在给出一个递增的数列，若干次询问，每次问一个区间，求该区间的最长安全子序列的长度。

$n,Q\le 2.5\cdot 10^5,a_i\le 10^9$

做法

如果限制是两个元素只差，那么容易想到用 lower_bound 和倍增求解。

现在是三个元素，贪心的做法是先去区间前两个元素，然后后面若一个元素加进来合法那么一定取，证明是容易的：若前两个元素不取，那么把取到的前两个元素换成区间前两个元素一定可行；若遇到一个合法的元素不直接取，那么取后面的元素一定会对后续限制更强。

所以我们仍然可以考虑用倍增，元素 $a_i$ 的下一个元素表示下标在 $i+1$ 之后（不含）的第一个合法元素，反复取下一个元素可以得到一条合法链。我们考虑从 $l,l+1$ 开始的两条链，要么他们不相交，那么就得到答案，要么他们相交，发现相交的元素类似 LCA，具体来说：考虑在一个元素和该元素的下一个元素之间建边，$lca(l,l+1)$ 即为最早相交处，那么只要再取 $lca,lca+1$ 重复上述步骤即可，这样多次从 $l$ 跳跃到 $lca(l,l+1)$ 的过程也可以倍增，倍增到最后如果 $lca>r$ 那么就把最后一段按照不相交时的“下一个元素”的倍增求。

简单来说是一个先大步倍增，后小步倍增的感觉，复杂度 $O((n+Q)\log n)$。

code

总结

如果选取元素的过程是线性的贪心做法，那么可以考虑倍增。考虑倍增到相同位置是可以考虑转化为树上 LCA。