有界区域上具有常数右端项的泊松方程解的上界估计

题目：设 $$U\subset {\mathbb{R}}^n$$ 是一个有界开集，且 $$U\subset B(0,R)$$，其中 $$B(0,R)$$ 是中心在原点、半径为 $$R$$ 的球。设 $$u$$ 在 $$U$$ 中满足 $$\Delta u=\lambda$$，其中 $$\lambda \ge 0$$ 是常数，且 $$u=g$$ 在 $$\partial U$$ 上。证明对于所有 $$x\in \overline{U}$$，有
$$u(x)\le \underset{\partial U}{\max }|g(y)|+\frac{3R^2}{2n}\lambda .$$

解决：
证明过程基于次调和函数的性质。考虑函数 $$v(x)=u(x)+\frac{|x{|}^2}{2n}\lambda$$。计算其拉普拉斯：
$$\Delta v=\Delta u+\frac{\lambda }{2n}\Delta (|x{|}^2)=\lambda +\frac{\lambda }{2n}\cdot 2n=2\lambda \ge 0,$$
所以 $$v$$ 是次调和函数。根据次调和函数的定义，对于任意 $$B(x,r)\subset U$$，有
$$v(x)\le \frac{1}{\alpha (n)r^n}{\int }_{B(x,r)}v(y)dy,$$
其中 $$\alpha (n)$$ 是 $${\mathbb{R}}^n$$ 中单位球的体积，因此 $$|B(x,r)|=\alpha (n)r^n$$。展开积分：
$$u(x)+\frac{|x{|}^2}{2n}\lambda \le \frac{1}{\alpha (n)r^n}{\int }_{B(x,r)}\left(u(y)+\frac{|y{|}^2}{2n}\lambda \right)dy=\frac{1}{\alpha (n)r^n}{\int }_{B(x,r)}u(y)dy+\frac{1}{\alpha (n)r^n}{\int }_{B(x,r)}\frac{|y{|}^2}{2n}\lambda dy.$$

由于 $$\Delta u=\lambda \ge 0$$，$$u$$ 是次调和函数，因此最大值在边界上达到，即对于所有 $$y\in U$$，有 $$u(y)\le \underset{\partial U}{\max }u$$。又因为 $$u=g$$ 在 $$\partial U$$ 上，所以 $$\underset{\partial U}{\max }u\le \underset{\partial U}{\max }|g|$$，从而
$$\frac{1}{\alpha (n)r^n}{\int }_{B(x,r)}u(y)dy\le \underset{\partial U}{\max }|g|.$$

对于第二项，由于 $$y\in B(x,r)$$，有 $$|y|\le |x|+r$$，所以 $$|y{|}^2\le (|x|+r{)}^2$$，于是
$${\int }_{B(x,r)}|y{|}^{2}dy\le (|x|+r{)}^2{\int }_{B(x,r)}dy=(|x|+r{)}^2\alpha (n)r^n,$$
因此
$$\frac{1}{\alpha (n)r^n}{\int }_{B(x,r)}\frac{|y{|}^2}{2n}\lambda dy\le \frac{\lambda }{2n}(|x|+r{)}^2.$$

结合以上不等式：
$$u(x)+\frac{|x{|}^2}{2n}\lambda \le \underset{\partial U}{\max }|g|+\frac{\lambda }{2n}(|x|+r{)}^2.$$

移项得：
$$u(x)\le \underset{\partial U}{\max }|g|+\frac{\lambda }{2n}\left((|x|+r{)}^2-|x{|}^2\right)=\underset{\partial U}{\max }|g|+\frac{\lambda }{2n}(2|x|r+r^2).$$

由 $$U\subset B(0,R)$$，有 $$|x|\le R$$ 和 $$r\le R$$，所以 $$2|x|r+r^2\le 2R\cdot R+R^2=3R^2$$，于是
$$u(x)\le \underset{\partial U}{\max }|g|+\frac{3R^2}{2n}\lambda .$$

至此，不等式得证。在证明中，常数 $$\frac{3R^2}{2n}$$ 依赖于 $$n$$ 和 $$R$$，但通常在实际应用中，可取 $$C=\max \left\{1,\frac{3R^2}{2n}\right\}+1$$ 以确保不等式成立，但根据上述推导，直接使用 $$\frac{3R^2}{2n}$$ 即可。

注意：如果 $$\lambda <0$$，则需使用其他方法（如考虑 $$-u$$) 得到下界，但本题假设 $$\lambda \ge 0$$。