Super-Resolution Delay-Doppler Estimation for OFDM Passive Radar

(9) 可以写成矩阵形式

$$\begin{array}{rl}\mathbf{R}& =\hat{\mathbf{S}}\odot \mathbf{Z}+\mathbf{E}+\mathbf{V}\\ & =\hat{\mathbf{S}}\odot \left(\mathbf{B}(\varphi )\mathrm{diag}(\mathbf{\alpha })\mathbf{G}(\mathbf{\psi }{)}^H\right)+\mathbf{E}+\mathbf{V}\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$

其中 $\mathbf{\alpha }=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_K{]}^T$； $\odot$ 表示哈达玛积 (Hadamard product)； $\hat{\mathbf{S}}\in {\mathbb{C}}^{M\times N}$、 $\mathbf{R}\in {\mathbb{C}}^{M\times N}$、 $\mathbf{Z}\in {\mathbb{C}}^{M\times N}$、 $\mathbf{E}\in {\mathbb{C}}^{M\times N}$ 和 $\mathbf{V}\in {\mathbb{C}}^{M\times N}$ 是矩阵，其 $(m,n)$ 位置的元素分别为 ${\hat{s}}_m(n)$、 $r_m(n)$、 $z_m(n)$、 $e_m(n)$ 和 $v_m(n)$。为了探究信号的结构，我们将 $\mathbf{R}$ 向量化并得到

$$\begin{array}{rl}\overline{\mathbf{r}}& =\tilde{\mathbf{S}}\overline{\mathbf{z}}+\overline{\mathbf{e}}+\overline{\mathbf{v}}\\ & =\tilde{\mathbf{S}}\left(\mathbf{G}(\psi {)}^{\ast }\circ \mathbf{B}(\varphi )\right)\mathbf{\alpha }+\overline{\mathbf{e}}+\overline{\mathbf{v}}\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$

其中 $\tilde{\mathbf{S}}\triangleq \text{diag}(\text{vec}(\hat{\mathbf{S}}))\in {\mathbb{C}}^{MN\times MN}$， $\tilde{\mathbf{z}}\triangleq \text{vec}(\mathbf{Z})\in {\mathbb{C}}^{MN\times 1}$， $\tilde{\mathbf{e}}\triangleq \text{vec}(\mathbf{E})\in {\mathbb{C}}^{MN\times 1}$ 且 $\tilde{\mathbf{v}}\triangleq \text{vec}(\mathbf{V})\in {\mathbb{C}}^{MN\times 1}$； $\circ$ 是 Khatri-Rao 积； $(\mathbf{G}(\psi {)}^{\ast }\circ \mathbf{B}(\varphi ))\in {\mathbb{C}}^{MN\times K}$ 是一个矩阵，其第 $k$ 列的形式为 $\mathbf{g}({\psi }_k{)}^{\ast }\otimes \mathbf{b}({\varphi }_k)$，其中 $\otimes$ 是克罗内克积 (Kronecker product)。

问题是要从带噪声的观测值 $\bar{\mathbf{r}}$ 中联合估计未知的参数 $\mathbf{\alpha }$、 $\mathbf{\varphi }$ 和 $\mathbf{\psi }$。利用这些估计值，我们便可以计算出监视区域中目标的反射系数 ${\alpha }_k$、延迟 ${\tau }_k$ 和多普勒频率 $f_k$。

B. Existing Methods

在完美解调的情况下，已有多种算法被开发出来。在 [9] 中，首先给出了一种基于匹配滤波和传统 FFT 处理的方法，该方法存在分辨率低的问题。为了获得更好的目标分辨率和杂波抑制效果，[9] 中还提出了基于 MUSIC 和 CS 的超分辨率方法，下文将对此进行简要描述。值得注意的是，[9] 假设数据符号 $s_m(n)$ 具有单位幅度，即相移键控 (PSK) 调制。然而，在 OFDM 通信中，通常采用正交幅度调制 (QAM)，其中符号具有不同的幅度。在下文中，我们将讨论适用于通用调制的两种超分辨率方法。

1. 基于 MUSIC 的超分辨率接收机：当 $\bar{\mathbf{e}}=0$，即 $s_m(n)={\hat{s}}_m(n)$ 时，路径的延迟和多普勒频移可以直接估计。由于 MUSIC 需要波形的多个快照，因此应首先应用空间平滑。具体来说，MUSIC 算法的导向矢量定义为

$${\mathbf{a}}^{\prime }(\varphi ,\psi )=\mathrm{vec}\left({\mathbf{A}}^{\prime }(\varphi ,\psi )\right)\in {\mathbb{C}}^{M^{\prime }{N}^{\prime }\times 1}\text{\hspace{1em}(12)}$$

其中

$${\mathbf{A}}^{\prime }(\varphi ,\psi )=\left[\begin{array}{cccc}1& e^{-i2\pi \psi }& \cdots & e^{-i2\pi (N^{\prime }-1)\psi }\\ e^{i2\pi \varphi }& e^{i2\pi (\varphi -\psi )}& \cdots & e^{i2\pi [\varphi -(N^{\prime }-1)\psi ]}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ e^{i2\pi (M^{\prime }-1)\varphi }& e^{i2\pi [(M^{\prime }-1)\varphi -\psi ]}& \cdots & e^{i2\pi [(M^{\prime }-1)\varphi -(N^{\prime }-1)\psi ]}\end{array}\right]$$

其中 $N^{\prime }<N$ 且 $M^{\prime }<M$。假设平滑后的快照数为 $N_{\text{snap}}=(N-N^{\prime }+1)(M-M^{\prime }+1)$。将接收到的信号分组并将每个矩阵的列堆叠起来，我们可以构建一个观测矩阵

$$\mathbf{Y}=[\text{vec}({\mathbf{R}}_{0,0}^{\prime }),\dots ,\text{vec}({\mathbf{R}}_{N-N^{\prime },0}^{\prime }),\dots ,\text{vec}({\mathbf{R}}_{N-N^{\prime },M-M^{\prime }}^{\prime })]\in {\mathbb{C}}^{M^{\prime }{N}^{\prime }\times N_{\text{snap}}},\text{\hspace{1em}(13)}$$

其中 ${\mathbf{R}}_{m,n}^{\prime }$ 由本页底部的 (14) 给出，其中 ${\mathbf{R}}_{m,n}^{\prime }(n)=\frac{{\mathbf{r}}_m(n)}{{\tilde{s}}_m(n)}$，对于 $m=0,1,\dots ,M-M^{\prime }$ 和 $n=0,1,\dots ,N-N^{\prime }$。

利用经过空间平滑的观测矩阵，可以通过对 $\mathbf{Y}$ 进行奇异值分解 (SVD) 得到信号和噪声子空间，即 $\mathbf{Y}=\mathbf{FDH}$，其中 $\mathbf{F}\in {\mathbb{C}}^{M^{\prime }{N}^{\prime }\times M^{\prime }{N}^{\prime }}$ 且 $\mathbf{H}\in {\mathbb{C}}^{N_{\text{snap}}\times N_{\text{snap}}}$。假设 $\mathbf{F}=[{\mathbf{F}}^{(s)},{\mathbf{F}}^{(n)}]$，其中 ${\mathbf{F}}^{(s)}$ 对应信号子空间，${\mathbf{F}}^{(n)}$ 对应噪声子空间。在实践中，可以通过找到与最大特征值对应的特征向量来确定信号子空间。MUSIC 谱可以表示为

$$f_{\text{MUSIC}}(\varphi ,\psi )=\frac{1}{{\mathbf{a}}^{\prime }(\varphi ,\psi {)}^H({\mathbf{F}}^{(n)}{)}^H{\mathbf{F}}^{(n)}{\mathbf{a}}^{\prime }(\varphi ,\psi )}.\text{\hspace{1em}(15)}$$

二维 MUSIC (2D-MUSIC) 方法可以通过定位谱中的极点来估计目标和杂波。然后，在给定延迟和多普勒频率的情况下，可以通过最小二乘 (LS) 方法估计目标和杂波的幅度。

MUSIC 算法因其在频率估计方面良好的分辨率和准确性而广受欢迎 [41]。然而，也有报道指出，在噪声环境中，利用稀疏诱导范数的优化方法性能优于 MUSIC 算法 [30], [35]。此外，MUSIC 算法被设计为允许数据存在高斯状的小扰动，因此当存在此类噪声时，其性能会平缓下降。在无源雷达中，由于解调误差，数据中会存在一些脉冲噪声（impulsive noise），这会严重降低性能。

2. 基于压缩感知的超分辨率子空间算法：除了 MUSIC 等基于子空间的算法外，参数也可以通过 CS 算法进行估计。显然，在 (11) 中联合估计 $\varphi$, $\psi$ 和 $\alpha$ 是一个非线性问题。它可以通过使用一个过完备字典矩阵 ${\mathbf{C}}^{\prime }=({\mathbf{G}}^{\prime \ast }\odot {\mathbf{B}}^{\prime })$ 进行线性化，其中

$${\mathbf{B}}^{\prime }=[\mathbf{b}({\varphi }_1^{\prime }),\mathbf{b}({\varphi }_2^{\prime }),\dots ,\mathbf{b}({\varphi }_{\tilde{M}}^{\prime })]\in {\mathbb{C}}^{M\times \tilde{M}},\text{\hspace{1em}(16)}$$

$${\mathbf{G}}^{\prime }=[\mathbf{g}({\psi }_1^{\prime }),\mathbf{g}({\psi }_2^{\prime }),\dots ,\mathbf{g}({\psi }_{\tilde{N}}^{\prime })]\in {\mathbb{C}}^{N\times \tilde{N}},\text{\hspace{1em}(17)}$$

其中 {ϕm~′}\{\phi'_{\tilde{m}}\}{ϕm~′​} 和 {ψn~′}\{\psi'_{\tilde{n}}\}{ψn~′​} 表示均匀间隔的频率点集合。设 $\tilde{L}=\tilde{M}\tilde{N}$ 为 ${\mathbf{C}}^{\prime }$ 的列数，其中 $\tilde{M}\ge M$ 且 $\tilde{N}\ge N$。对于足够大的 $\tilde{M}$ 和 $\tilde{N}$，频率谱被密集采样。令 ${\mathbf{\alpha }}^{\prime }\in {\mathbb{C}}^{\tilde{L}\times 1}$ 为稀疏向量，其非零元素对应于 (11) 中的 $\mathbf{\alpha }$。然后，非线性的联合参数估计问题简化为一个线性参数估计问题，即在稀疏性约束下估计线性幅度向量 ${\mathbf{\alpha }}^{\prime }$：

$${\hat{\mathbf{\alpha }}}^{\prime }=\arg \underset{\mathbf{\alpha }}{\min }\frac{1}{2}{\Vert \overline{\mathbf{r}}-\tilde{\mathbf{S}}{\mathbf{C}}^{\prime }{\mathbf{\alpha }}^{\prime }\Vert }_2^2+\gamma {\Vert {\mathbf{\alpha }}^{\prime }\Vert }_1\text{\hspace{1em}(18)}$$

其中 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 表示 $l_1$-范数，$\gamma$ 是一个加权参数，用于确定稀疏重建。由于 (18) 是凸的，幅度可以通过凸优化算法有效估计 [42]。通过定位 ${\hat{\mathbf{\alpha }}}^{\prime }$ 的非零项，可以识别出延迟和多普勒频率。

基于 $l_1$-最小化的 CS 算法 (CS-L1) 能够在传感矩阵 ${\mathbf{C}}^{\prime }$ 的某些条件下超分辨多正弦信号的频谱 [24]。然而，频谱是在一组离散的网格上进行离散化的，而目标可能并不精确地落在网格上。离网格目标可能会导致模型失配，并显著降低性能 [31], [36], [43]。此外，(18) 中的 CS 接收机没有考虑解调误差，这可能导致性能进一步下降。

III. CS-BASED HIGH-RESOLUTION PASSIVE RADAR USING ATOMIC NORM

正如前一节所解释的，解调误差会导致测量中的脉冲噪声，并将降低基于 MUSIC 或 CS 的超分辨率接收机的性能。从 (11) 可知，$\bar{\mathbf{r}}$ 是散射系数 ${\alpha }_k$、延迟 ${\tau }_k$ 和多普勒频率 $f_k$ 的函数。为了减少脉冲噪声的影响，我们需要利用问题中以下两种稀疏性：

1. 目标和杂波的反射是不同频率的复正弦信号的组合，且频率的数量远小于测量的数量，即 $K\ll MN$。
2. 错误解调的符号数量远小于测量的数量。

记错误解调的符号数量为 $J$，则我们有 $\Vert \bar{\mathbf{e}}{\Vert }_0=J$。虽然 $l_0$-范数约束增强了解的稀疏性，但这会导致一个 NP-难的非凸优化问题。因此，我们转而使用 $l_1$-范数正则化，即 $\Vert \bar{\mathbf{e}}{\Vert }_1={\sum }_{l=1}^{MN}|\tilde{e}(l)|$。

信号 $\tilde{\mathbf{z}}$ 是具有任意相位的复正弦信号的线性组合，其频率不落在离散网格上。因此，它不能直接用 $l_1$-范数来表示。为了解决离网格问题，我们使用原子范数来构建信号的稀疏表示。定义一个原子为 $\mathbf{a}(\varphi ,\psi )=\mathbf{g}(\psi {)}^{\ast }\otimes \mathbf{b}(\varphi )$，原子集合定义为所有归一化的二维复正弦信号的集合：A={a(ϕ,ψ):ϕ∈[0,1),ψ∈[0,1)}\mathcal{A} = \{\mathbf{a}(\phi, \psi) : \phi \in [0, 1), \psi \in [0, 1)\}A={a(ϕ,ψ):ϕ∈[0,1),ψ∈[0,1)}。显然，根据 (8) 我们有 $\tilde{\mathbf{z}}={\sum }_{k=1}^K{\alpha }_k\mathbf{a}({\varphi }_k,{\psi }_k)$。

定义 1：对于 $\tilde{\mathbf{z}}\in {\mathbb{C}}^{MN\times 1}$ 的二维原子范数是
$$\Vert \tilde{\mathbf{z}}{\Vert }_{\mathcal{A}}=\underset{\begin{array}{c}{\varphi }_k\in [0,1),{\psi }_k\in [0,1)\\ {\alpha }_k\in \mathbb{C}\end{array}}{\inf }\left\{\sum _k|{\alpha }_k||\tilde{\mathbf{z}}=\sum _k{\alpha }_k\mathbf{a}({\varphi }_k,{\psi }_k)\right\}.\text{\hspace{1em}(19)}$$

原子范数可以强制原子集 $\mathcal{A}$ 中的稀疏性 [34]。在此基础上，将构建一个优化问题来估计信号频率。为方便计算，我们将使用原子集 $\mathcal{A}$ 的原子范数的以下等价形式 [44]：

$$\Vert \tilde{\mathbf{z}}{\Vert }_{\mathcal{A}}=\underset{\mathbf{U},t}{\inf }\left\{\frac{1}{2MN}\text{Tr}(\mathcal{T}(\mathbf{U}))+\frac{t}{2}\right\},\text{s.t.}\left[\begin{array}{cc}\mathcal{T}(\mathbf{U})& \tilde{\mathbf{z}}\\ {\tilde{\mathbf{z}}}^H& t\end{array}\right]⪰0\text{\hspace{1em}(20)}$$

其中 $\text{Tr}(\cdot )$ 是输入矩阵的迹；$\mathbf{U}$ 是一个 $(2M-1)\times (2N-1)$ 的矩阵，定义为

$$\mathbf{U}=[{\mathbf{u}}_{-N+1},{\mathbf{u}}_{-N+2},\dots ,{\mathbf{u}}_{N-1}]\text{\hspace{1em}(21)}$$

其中

$${\mathbf{u}}_l=[u_l(-M+1),u_l(-M+2),\dots ,u_l(M-1){]}^T;\text{\hspace{1em}(22)}$$

$\mathcal{T}(\mathbf{U})$ 是一个块托普利茨 (block Toeplitz) 矩阵，定义为

$$\mathcal{T}(\mathbf{U})=\left[\begin{array}{cccc}\text{Toep}({\mathbf{u}}_0)& \text{Toep}({\mathbf{u}}_{-1})& \cdots & \text{Toep}({\mathbf{u}}_{-N+1})\\ \text{Toep}({\mathbf{u}}_1)& \text{Toep}({\mathbf{u}}_0)& \cdots & \text{Toep}({\mathbf{u}}_{-N+2})\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \text{Toep}({\mathbf{u}}_{N-1})& \text{Toep}({\mathbf{u}}_{N-2})& \cdots & \text{Toep}({\mathbf{u}}_0)\end{array}\right],\text{\hspace{1em}(23)}$$

其中 $\text{Toep}(\cdot )$ 表示一个托普利茨矩阵，其第一列是输入向量的后 $M$ 个元素。更具体地说，我们有

$$\text{Toep}({\mathbf{u}}_l)=\left[\begin{array}{cccc}{u}_l(0)& u_l(-1)& \cdots & u_l(-M+1)\\ u_l(1)& u_l(0)& \cdots & u_l(-M+2)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ u_l(M-1)& u_l(M-2)& \cdots & u_l(0)\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(24)}$$

对于 $l=-N+1,-N+2,\dots ,N-1$。
使用原子范数，我们可以根据 (8) 构建以下优化问题：

$$(\hat{\mathbf{z}},\hat{\mathbf{e}})=\underset{\overline{\mathbf{z}},\overline{\mathbf{e}}}{\mathrm{argmin}}\frac{1}{2}\Vert \overline{\mathbf{r}}-\overline{\mathbf{e}}-\tilde{\mathbf{S}}\overline{\mathbf{z}}{\Vert }_2^2+\lambda \Vert \overline{\mathbf{z}}{\Vert }_{\mathcal{A}}+\mu \Vert \overline{\mathbf{e}}{\Vert }_1,\text{\hspace{1em}(25)}$$

其中 $\lambda >0$ 和 $\mu >0$ 是权重因子。在实践中，我们设置 $\lambda \simeq \sigma \sqrt{MN\log (MN)}$ 和 $\mu \simeq \sigma \sqrt{\log (MN)}$。应用 (20)，则 (25) 可以被转换为如下的半正定规划 (SDP)：

$$\begin{array}{rl}(\hat{\mathbf{z}},\hat{\mathbf{e}})=\arg \underset{\tilde{\mathbf{z}},\tilde{\mathbf{e}},\mathbf{U},t}{\min }& \frac{1}{2}\Vert \tilde{\mathbf{r}}-\tilde{\mathbf{e}}-\tilde{\mathbf{S}}\tilde{\mathbf{z}}{\Vert }_2^2+\frac{\lambda }{2MN}\text{Tr}(\mathcal{T}(\mathbf{U}))\\ & +\frac{\lambda t}{2}+\mu \Vert \tilde{\mathbf{e}}{\Vert }_1\end{array}\text{\hspace{1em}(26)}$$

$$\text{s.t.}\left[\begin{array}{cc}\mathcal{T}(\mathbf{U})& \tilde{\mathbf{z}}\\ {\tilde{\mathbf{z}}}^H& t\end{array}\right]⪰0.$$

上述问题是凸的，可以使用凸优化求解器来解决。我们将 (26) 的解表示为 $\hat{\mathbf{z}}=[{\hat{z}}_1,{\hat{z}}_2,\dots ,{\hat{z}}_{MN}{]}^T$ 和 $\hat{\mathbf{e}}=[{\hat{e}}_1,{\hat{e}}_2,\dots ,{\hat{e}}_{MN}{]}^T$。解调误差可以通过定位 $\hat{\mathbf{e}}$ 中的非零元素来识别。我们将 (25) 中 $\mu \ne 0$ 的超分辨接收机命名为基于原子范数和 $l_1$-范数的 CS 算法 (CS algorithm based on atomic norm and 1 -norm，CS-ANL1)。

B. Example

考虑一个特殊情况，即通信是无差错的，因此 (25) 中的惩罚项 $\mu \Vert \bar{\mathbf{e}}{\Vert }_1$ 是不必要的。我们将 (25) 中 $\mu =0$ 的超分辨率算法命名为基于原子范数的 CS 算法 (CS-AN)。由于原子范数可以在连续域中强制稀疏性，其性能不会受到离网格问题的影响。

在图 1 中，我们通过一个例子比较了 CS-AN 算法和 CS-L1 算法的性能。参数设置为 $M=N=8$ 和 $K=2$。噪声的方差为 ${\sigma }^2=0.1$。CS-AN 接收机是通过求解 (25) 来实现的，其中 $\lambda =\sigma \sqrt{MN\log (MN)}$ 且 $\mu =0$。CS-AN 接收机的延迟和多普勒频率估计将在第 III-C 节中解释。CS-L1 算法是通过使用 CVX [45] 求解 (18) 来实现的。CS 算法的网格参数设置为 $\tilde{M}=\kappa M$ 和 $\tilde{N}=\kappa N$，其中 $\kappa =2,4,16$。CS-L1 算法的加权参数设置为 $\gamma =2\sigma \sqrt{2\log (\tilde{M}\tilde{N})}$。

从图 1 可以看出，由于基不匹配，CS-L1 算法会返回许多虚警。由于一些弱目标的幅度也很小，可能很难将虚警与目标区分开来。随着网格密度的增加，由离散化引起的失配可以被减少，但感知矩阵 ${\mathbf{C}}^{\prime }$ 的相干性会增加。结果，目标仍然被分裂成许多散射体。CS-AN 算法也会返回一个由测量噪声引起的虚警。然而，它能够准确地识别目标频率，并且虚警数量远少于 CS-L1 算法。

C. Delay and Doppler Frequency Estimation

无源雷达的主要目的是探测和跟踪目标。然而，求解 (26) 并不能直接提供 $\varphi$ 和 $\psi$ 的估计值，因此散射体的延迟和多普勒频率仍然是未知的。一种估计延迟和多普勒频率的方法是使用以 $\hat{\mathbf{z}}$ 为输入的二维 MUSIC (2D-MUSIC) 算法。另一种方法是从问题的对偶解中获得估计值。根据 [34]，(25) 的对偶问题由下式给出

$$\begin{array}{rl}\underset{\mathbf{\nu }}{\max }& {⟨{\left({\tilde{\mathbf{S}}}^H\right)}^{-1}\mathbf{\nu },\overline{\mathbf{r}}⟩}_{\mathbb{R}}-\frac{1}{2}{\Vert {\left({\mathbf{S}}^H\right)}^{-1}\mathbf{\nu }\Vert }_2^2\\ \text{ s.t. }& \Vert \mathbf{\nu }{\Vert }_{\mathcal{A}}^{\ast }\le \lambda \\ & {\Vert {\left({\tilde{\mathbf{S}}}^H\right)}^{-1}\mathbf{\nu }\Vert }_{\infty }\le \mu \end{array}\text{\hspace{1em}(27)}$$

其中 $\mathbf{\nu }\in {\mathbb{C}}^{MN\times 1}$ 是对偶变量，$⟨\mathbf{\nu },\mathbf{r}{⟩}_{\mathbb{R}}=\text{Re}({\mathbf{r}}^H\mathbf{\nu })$，且 $\Vert \mathbf{\nu }{\Vert }_{\mathcal{A}}^{\ast }={\sup }_{\Vert \mathbf{z}{\Vert }_{\mathcal{A}}\le 1}⟨\mathbf{\nu },\mathbf{z}{⟩}_{\mathbb{R}}$ 是对偶范数。令 $\hat{\mathbf{\nu }}=[{\hat{\nu }}_1,{\hat{\nu }}_2,\dots ,{\hat{\nu }}_{MN}{]}^T$ 为 (27) 的解。求解对偶问题等价于求解原始问题，并且大多数求解器在求解原始问题时可以直接返回对偶最优解。下面的引理可以用来从对偶解中识别频率。

引理 1: [46] 假设 $\hat{\mathbf{z}}={\sum }_{k=1}^{\hat{K}}{\hat{\alpha }}_k\mathbf{a}({\hat{\varphi }}_k,{\hat{\psi }}_k)$ 是原始解，那么对偶多项式（dual polynomial） $Q(\varphi ,\psi )=⟨\hat{\mathbf{\nu }},\mathbf{a}(\varphi ,\psi )⟩$ 满足
$$Q({\hat{\varphi }}_k,{\hat{\psi }}_k)=\lambda \frac{{\hat{\alpha }}_k}{|{\hat{\alpha }}_k|},k=1,2,\dots ,\hat{K},\text{\hspace{1em}(28)}$$$${\hat{\nu }}_j=({\tilde{S}}_{j,j}^{\ast }{)}^{-1}\mu \frac{{\hat{e}}_j}{|{\hat{e}}_j|},\forall {\hat{e}}_j\ne 0,j=1,2,\dots ,MN,\text{\hspace{1em}(29)}$$
其中 $\hat{K}$ 是估计的频率数量，${\tilde{S}}_{j,j}$ 是矩阵 $\tilde{\mathbf{S}}$ 的第 $j$ 个对角元素。

根据 (28)，信号的延迟和多普勒频率可以通过识别对偶多项式模为 $\lambda$ 的点来获得。此外，对偶解提供了另一种检测错误解调的方法：在发生错误解调的位置，对偶解的幅度等于 $\mu$。

我们给出了一个通过对偶解进行频率估计和解调错误检测的例子。仿真参数为 $M=8,N=8$ 且 $K=2$。为了更好地可视化，数据载波使用 BPSK 调制。从图 2(a) 可以看出，存在 2 个解调错误，因此 $\Vert \mathbf{e}{\Vert }_0=2$。(26) 中的加权参数为 $\lambda =0.16$ 和 $\mu =0.02$。对偶解也由求解器返回。根据图 2(b)，可以正确检测到解调误差，并且当 ${\hat{e}}_j\ne 0$ 时，我们有 $|{\hat{\nu }}_j|=\mu$。在图 3 中，绘制了对偶多项式。可以看出，估计的频率是通过识别对偶多项式幅度为 $\lambda$ 的点来获得的。

利用估计出的频率，可以构建字典矩阵为

$$\mathbf{C}(\hat{\mathbf{\varphi }},\hat{\mathbf{\psi }})=[\mathbf{a}({\hat{\varphi }}_1,{\hat{\psi }}_1),\mathbf{a}({\hat{\varphi }}_2,{\hat{\psi }}_2),\dots ,\mathbf{a}({\hat{\varphi }}_{\hat{K}},{\hat{\psi }}_{\hat{K}})],\text{\hspace{1em}(30)}$$

其中 $\hat{\mathbf{\varphi }}=[{\hat{\varphi }}_1,{\hat{\varphi }}_2,\dots ,{\hat{\varphi }}_{\hat{K}}{]}^T$ 且 $\hat{\mathbf{\psi }}=[{\hat{\psi }}_1,{\hat{\psi }}_2,\dots ,{\hat{\psi }}_{\hat{K}}]$。在此基础上，可以使用最小二乘 (LS) 法估计目标和杂波的反射，即，

$$\hat{\mathbf{\alpha }}=\arg \underset{\mathbf{\alpha }}{\min }\Vert \tilde{\mathbf{r}}-\tilde{\mathbf{S}}\mathbf{C}(\hat{\mathbf{\varphi }},\hat{\mathbf{\psi }})\mathbf{\alpha }-\tilde{\mathbf{e}}{\Vert }_2^2.\text{\hspace{1em}(31)}$$