常微分方程万能解的形式

o(n)解常微分方程，y为函数n阶导，p为任意x的函数

例如设yn 是y的n阶导，p(n)是常微分方程y的n阶导函数的系数，pn的积分为pn-1，pn-1求导为

Q = p(n)yn + p(n-1)yn-1 + p(n-2)yn-2 + … = p(0)

t0=p0
当i>0
情况1：设p0的i阶求导/pi=ti

情况2：如果p0的k阶导等于0，k小于等于n

i<=k时

ti=x^i/pi

并且pk+1yk+1+pk+2yk+2+…+pnyn=0

情况一：设y的解为k0t0+k1t1+k2t2+…+kntn形式，
y=t0=p0，
所以y=k1t1+k2t2+…+kntn代入方程得0，所以t0是y=k1t1+kt2+…+kntn是方程的一个扩解
y求一阶导，y=p0¹+k2t2一阶导…+kntn一阶导
=p0¹
所以有y=k2t2…+kntn，代入方程得0，
所以y=k1t1+k2t2+…+kntn代入方程得p0是y=k2t2+…+kntn代入方程得0的一个特解

所以t1是pnyn+pn-1yn-1+…+p2y2+p1y1=p0的一个扩解，所以t1可以作为

y=k1t1+k2t2+…+kntn的一个基，因为t1可以被解y线性表示
同理t1，t2，…，tn是y的一个基
先看当k1，k2，…，kn唯一
如果t0，t1，tn线性无关，
充分，n个方程约束，最多有n个基
必要，n个基可以推出一个解

矩阵
k0t0 k0t0一阶导… k0t0 n阶导

k1t1一阶积分 k1t1 … k1t1 n-1阶导
…

kntn n阶积分… kntn1阶导

的转置乘以向量
-1 p1 p2 …pn
等于

p(0) p(0)一阶导 p(0)二阶导…p(0)n阶导

所以n+1个方程n+1个未知数，得证

如果线性相关，

设y=k1t1+k2t2+…+kntn
可以写成y=k1t2+k2t2+…+kntm (m<n)
，同理代入，得m个未知数，n个方程，同理只要m个特解就可以表示方程

情况二，按照情况1求出t1，t2，…，tk，

再求
pk+1yk+1+pk+2yk+2+…+pnyn=0的解
和求通解一样

求通解
pnyn+pn-1yn-1+…+p2y2+p1y1=0

设y的解为e的k1t1+k2t2+…+kntn次方形式，先看当k1，k2，…，kn唯一

矩阵
k1t1 k1t1一阶导… k1t1n-1阶导

k2t2一阶积分 k2t2 … k2t2 n-2阶导
…

kntn n-1阶积分… kntn

的转置乘以向量
p1 p2 …pn
等于
0，0，…，0
即t1，t2，…，tn线性相关，t1=-(k2t2+k3t3+…+kntn)
，即e的-t1=e的(k2t2+k3t3+…+kntn) 次方 *(p2+p3+…+pn)/p1

求t2=…
e的-t2=e的(k3t3+…+kntn)次方 (p3+p4+…+pn)/p2

最后求出tn，往回代
求出通解，
最后结果是特解加通解