傅里叶级数全面解析：从理论基础到典型例题

1. 周期为2l的傅里叶级数

基本公式

对于周期为$2l$的函数$f(x)$，其傅里叶级数展开为：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)$$

其中系数计算公式为：

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx,n=0,1,2,\dots$$

$$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx,n=1,2,3,\dots$$

解题原理分析

• 大方向：将任意周期函数分解为不同频率的三角函数之和
• 核心思想：利用三角函数的正交性，通过积分提取各频率分量的振幅
• 操作原理：在周期区间$[-l,l]$上，不同频率的$\cos$和$\sin$函数相互正交，积分可以分离出特定频率的系数

2. 狄利克雷收敛定理

定理内容

若周期为$2l$的函数$f(x)$满足：

1. 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
2. 在一个周期内至多只有有限个极值点

则$f(x)$的傅里叶级数收敛，且收敛于：

$$S(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& x为连续点\\ \frac{f(x^{-})+f(x^{+})}{2},& x为间断点\\ \frac{f(-l^{+})+f(l^{-})}{2},& x为区间端点\end{array}$$

特征识别与解题思路

• 识别关键：判断函数是否满足狄利克雷条件
• 解题方向：确定傅里叶级数在特定点的收敛值
• 原理分析：即使函数有间断点，傅里叶级数仍能收敛到左右极限的平均值

3. 正弦级数和余弦级数

正弦级数（奇函数展开）

当$f(x)$为奇函数或在$[0,l]$上作奇延拓时：

$$a_n=0,n=0,1,2,\dots$$

$$b_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx,n=1,2,3,\dots$$

余弦级数（偶函数展开）

当$f(x)$为偶函数或在$[0,l]$上作偶延拓时：

$$a_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx,n=0,1,2,\dots$$

$$b_n=0,n=1,2,3,\dots$$

解题策略

• 奇偶性判断：首先分析函数的奇偶性
• 延拓选择：根据边界条件选择适当的延拓方式
• 计算简化：利用对称性简化积分计算

4. 周期延拓、奇延拓、偶延拓

周期延拓

将定义在有限区间上的函数周期性延拓到整个实数轴。

奇延拓

对于定义在$[0,l]$上的函数$f(x)$，构造：
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& 0\le x\le l\\ -f(-x),& -l\le x<0\end{array}$$
得到奇函数后进行傅里叶展开。

偶延拓

对于定义在$[0,l]$上的函数$f(x)$，构造：
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& 0\le x\le l\\ f(-x),& -l\le x<0\end{array}$$
得到偶函数后进行傅里叶展开。

典型例题解析

题目：已知$f(x)=x+1$，若其傅里叶展开式为：
$f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\cos x$，
则${\lim }_{n\to \infty }{n}^2\sin a_{2n-1}=?$

特征识别

1. 展开式只含余弦项 → 偶延拓余弦级数
2. 周期为$2\pi$（因$\cos x$中的系数为1）
3. 需要计算极限值

解题步骤

步骤1：确定延拓方式

由于展开式只含余弦项，对$f(x)=x+1$在$[0,\pi ]$上进行偶延拓：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& 0\le x\le \pi \\ -x+1,& -\pi \le x<0\end{array}$$

步骤2：计算傅里叶系数

对于偶函数，$b_n=0$，且：

$$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\cos (nx)dx$$

计算$a_n$：

$$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }(x+1)\cos (nx)dx$$

使用分部积分法：
令$u=x+1$, $dv=\cos (nx)dx$，则$du=dx$, $v=\frac{\sin (nx)}{n}$

$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{2}{\pi }\left[\frac{(x+1)\sin (nx)}{n}{|}_0^{\pi }-\frac{1}{n}{\int }_0^{\pi }\sin (nx)dx\right]\\ & =\frac{2}{\pi }\left[\frac{(\pi +1)\sin (n\pi )-1\cdot \sin (0)}{n}+\frac{1}{n^2}\cos (nx){|}_0^{\pi }\right]\\ & =\frac{2}{\pi }\left[0+\frac{\cos (n\pi )-\cos (0)}{n^2}\right]\\ & =\frac{2}{\pi n^2}[(-1{)}^n-1]\end{array}$$

步骤3：分析系数特性

• 当$n$为偶数时：$(-1{)}^n-1=1-1=0$ → $a_n=0$
• 当$n$为奇数时：$(-1{)}^n-1=-1-1=-2$ → $a_n=-\frac{4}{\pi n^2}$

因此：
$$a_{2n-1}=-\frac{4}{\pi (2n-1{)}^2}$$

步骤4：计算极限

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\sin a_{2n-1}& =\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\sin \left(-\frac{4}{\pi (2n-1{)}^2}\right)\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\cdot \left(-\frac{4}{\pi (2n-1{)}^2}\right)(\text{利用}\sin x\sim x\text{当}x\to 0)\\ & =-\frac{4}{\pi }\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{(2n-1{)}^2}\\ & =-\frac{4}{\pi }\cdot \frac{1}{4}=-\frac{1}{\pi }\end{array}$$

最终答案

$$\boxed{-\frac{1}{\pi }}$$

解题总结

• 关键识别：余弦级数 → 偶延拓
• 核心技巧：利用小量近似$\sin x\sim x$（当$x\to 0$）
• 验证思路：检查系数衰减规律与极限存在性

此例题展示了傅里叶级数理论在具体问题中的应用，体现了从函数特性识别到系数计算，再到极限求解的完整解题流程。