树的重心与直径 性质

算法讲解120【扩展】树上问题专题3-树的重心_哔哩哔哩_bilibili

算法讲解121【扩展】树上问题专题4-树的直径_哔哩哔哩_bilibili

树的重心

三种定义: 

1，以某个节点为根时，最大子树的节点数最少，那么这个节点是重心

2，以某个节点为根时，每颗子树的节点数不超过总节点数的一半，那么这个节点是重心

3，以某个节点为根时，所有节点都走向该节点的总边数最少，那么这个节点是重心

性质: 

4，一棵树最多有两个重心，如果有两个重心，那么两个重心一定相邻

5，如果树上增加或者删除一个叶节点，转移后的重心最多移动一条边

6，如果把两棵树连起来，那么新树的重心一定在原来两棵树重心的路径上

7，树上的边权如果都为正数，不管边权怎么分布，所有节点都走向重心的总距离和最小

树的直径

求法: 

1.两次dfs  找两个距离最远的点 不适用于有负边的树

2.树形dp 对于每个点找子树中的最长的两条链 适用于所有树

如果树上的边权都为正，则有如下直径相关的结论：

1，如果有多条直径，那么这些直径一定拥有共同的中间部分，可能是一个公共点或一段公共路径

2，树上任意一点，相隔最远的点的集合，直径的两端点至少有一个在其中