第三十八天：回文数组

回文数组

一、问题

小蓝随机生成了一个长度为 n 的整数数组，数组中的元素为 a1, a2, ⋯, an。他希望将这个数组变成回文数组，即对于任意 i ∈ [1, n]，都满足 ai = an - i + 1。小蓝拥有两种操作方式：

1. 可以指定相邻的两个数，将它们一起加 1 或减 1。
2. 也可以只指定一个数加 1 或减 1。

我们的目标就是帮助小蓝找出最少需要操作多少次，才能把这个数组成功变成回文数组。

二、思路

1. 核心思想：

• 遍历策略详解：
  采用双指针法遍历数组的前半部分（当数组长度为奇数时，排除中间的孤立元素）。具体来说，初始化指针 i = 0 和 j = n-1（其中 n 为数组长度），在循环中逐对比较对称位置的元素 arr[i] 和 arr[j]。例如，对于数组 [3, 7, 1, 9, 5]，我们会依次比较 (3,5)、(7,9) 这两对元素。

• 差值计算与处理：
  对于每对对称元素，计算其数值差 diff = arr[i] - arr[j] 的绝对值。当 diff ≠ 0 时：

  1. 常规对称对处理（当该对元素不是中间或紧邻中间时）：

     • 优先采用"相邻元素联动操作"策略：通过同时调整 arr[i+1] 和 arr[j-1] 的值来消除差值。例如，若 arr = [2, 4, 6, 8]，处理第一对 (2,8) 时，可以同时增加 arr[1] 和减少 arr[2] 各 3 个单位。
     • 计算最小操作次数 minOp = |diff| / 2，并更新 arr[i+1] -= minOp 和 arr[j-1] += minOp。
     • 这种策略的优势在于：单次操作可以同时影响两个对称位置的值调整。

  2. 中间对称对处理（当处理到数组中间或次中间位置时）：

     • 例如在数组 [1, 3, 5, 3, 1] 中，处理到第三对 (5,5) 时，或数组 [4, 2, 2, 4] 处理到第二对 (2,2) 时。
     • 此时由于缺乏相邻元素可供联动操作，只能直接累加差值绝对值到总操作次数。
     • 操作示例：若 arr = [6, 3, 9]，处理 (6,9) 时需要直接进行 3 次单元素操作。

• 边界条件处理：

  • 当数组长度为奇数时，中间元素不需要处理（自然满足回文对称要求）。
  • 对于长度为 1 的数组，直接返回 0 次操作。
  • 在实现时需要注意索引边界，避免数组越界访问。

• 复杂度分析：
  该算法只需单次遍历数组前半部分，时间复杂度为 O(n/2) 即 O(n)。空间复杂度为 O(1)，仅需常数个额外变量存储操作计数和临时差值。

三、C++ 代码实现

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;int minOperationsToPalindrome(vector<int>& nums) {int n = nums.size();int operations = 0;for (int i = 0; i < n / 2; ++i) {int diff = nums[i] - nums[n - i - 1];if (diff != 0) {if (i < n - i - 2) {int minOp = abs(diff);operations += minOp;nums[i] += diff > 0? -minOp : minOp;nums[n - i - 1] += diff > 0? minOp : -minOp;} else {operations += abs(diff);}}}return operations;
}int main() {int n;cin >> n;vector<int> nums(n);for (int i = 0; i < n; ++i) {cin >> nums[i];}int result = minOperationsToPalindrome(nums);cout << result << endl;return 0;
}

四、代码解读

1. 函数定义与初始化：

   • minOperationsToPalindrome 函数是一个专门设计用于解决数组回文化问题的工具函数。它的核心功能是计算将任意给定的整数数组 nums 转变为回文数组所需的最少操作次数。这里的"操作"特指对数组元素进行加1或减1的调整。
   • 在函数开始时，首先通过 nums.size() 获取数组的长度 n，这为后续的对称元素遍历提供了边界依据。同时初始化一个整型变量 operations 并设为 0，这个变量将作为累加器，精确记录整个转换过程中所需的所有操作步骤总数。例如，对于数组 [1, 2, 3]，初始时 operations 为0。

2. 遍历数组：

   • 采用经典的 for 循环结构来遍历数组的前半部分，循环变量 i 从索引 0 开始，以步长 1 递增，直到达到 n / 2 为止。这种设计确保了我们能处理数组中所有对称的元素对。比如对于长度为5的数组，会遍历索引0-1（对应索引4-3）；对于长度为4的数组，则遍历索引0-1（对应索引3-2）。这种对称遍历方式正是处理回文问题的关键。

3. 处理对称元素：

   • 在每次循环中，首先计算当前对称元素对 nums[i] 和 nums[n - i - 1] 的差值 diff。这个差值直接反映了这对元素当前的不对称程度。例如，当 nums[i] = 3 而 nums[n-i-1] = 5 时，diff = -2。
   • 当 diff 为0时，表明这对元素已经满足回文要求，可以直接跳过本次循环。这种优化避免了不必要的计算。
   • 当 diff 不为0时，根据元素在数组中的位置关系采取不同的处理策略：
     • 可优化操作的情况（i < n - i - 2）：这种情况通常出现在数组的前半部分。通过计算最小操作次数 minOp = abs(diff)，并同时调整当前元素和下一个相邻元素的值。例如，若 nums = [1, 3, 5, 2]，处理第一对元素(1,2)时，可以同时操作第二对元素(3,5)来减少总操作次数。
     • 必须单独操作的情况（i >= n - i - 2）：这种情况出现在数组的中间位置附近。此时只能通过直接调整当前元素的值来达到对称要求。比如对于数组 [1, 2, 3] 的中位元素2，必须单独调整。

4. 主函数：

   • 在 main 函数中，首先通过标准输入读取一个整数 n，表示待处理数组的长度。例如输入"4"表示要处理一个4元素的数组。
   • 接着动态创建一个大小为 n 的向量容器 nums，通过一个循环结构逐个读取数组元素。比如依次输入"1 2 3 4"会填充到向量中。
   • 最后调用核心函数 minOperationsToPalindrome 进行计算，并将得到的操作次数通过标准输出显示。例如输出"3"表示需要3次操作才能使数组成为回文。这个输出结果可以直接用于算法验证或后续处理。