【实验报告】华东理工大学随机信号处理实验报告

实验1 离散随机变量的仿真与计算

• 实验目的

掌握均匀分布的随机变量产生的常用方法。

    掌握高斯分布随机变量的仿真，并对其数字特征进行估计。

• 实验步骤

1. 实验准备

1. 安装python环境（3.12.2版本）

1. 安装第三方库：numpy，用于生成随机数和计算统计量

1. 编写代码

import numpy as np
import mathdef generate_uniform(mean, variance, size=10000):"""生成指定均值和方差的均匀分布随机数均匀分布U(a,b)的均值为(a+b)/2，方差为(b-a)²/12"""# 根据均值和方差计算a和ba = mean - math.sqrt(3 * variance)b = mean + math.sqrt(3 * variance)# 生成均匀分布随机数uniform_data = np.random.uniform(a, b, size)# 理论值theoretical = {'mean': mean,'variance': variance,'min': a,'max': b}return uniform_data, theoreticaldef generate_gaussian(mean, variance, size=10000):"""生成指定均值和方差的高斯分布随机数"""# 标准差是方差的平方根std = math.sqrt(variance)# 生成高斯分布随机数gaussian_data = np.random.normal(mean, std, size)# 理论值（高斯分布没有严格的最大最小值）theoretical = {'mean': mean,'variance': variance,'min': None,  # 高斯分布理论上没有最小值'max': None   # 高斯分布理论上没有最大值}return gaussian_data, theoreticaldef calculate_statistics(data):"""计算数据的统计特性"""stats = {'mean': np.mean(data),'variance': np.var(data),'min': np.min(data),'max': np.max(data)}return statsdef compare_distributions(mean, variance, size=10000):"""比较均匀分布和高斯分布的统计特性"""print(f"比较均值为{mean}，方差为{variance}的随机分布 (样本量: {size})")print("=" * 70)# 处理均匀分布print("\n1. 均匀分布:")uniform_data, uniform_theo = generate_uniform(mean, variance, size)uniform_stats = calculate_statistics(uniform_data)print(f"  理论均值: {uniform_theo['mean']:.6f}, 实际均值: {uniform_stats['mean']:.6f}, "f"误差: {abs(uniform_stats['mean'] - uniform_theo['mean']):.6f}")print(f"  理论方差: {uniform_theo['variance']:.6f}, 实际方差: {uniform_stats['variance']:.6f}, "f"误差: {abs(uniform_stats['variance'] - uniform_theo['variance']):.6f}")print(f"  理论最小值: {uniform_theo['min']:.6f}, 实际最小值: {uniform_stats['min']:.6f}")print(f"  理论最大值: {uniform_theo['max']:.6f}, 实际最大值: {uniform_stats['max']:.6f}")# 处理高斯分布print("\n2. 高斯分布:")gaussian_data, gaussian_theo = generate_gaussian(mean, variance, size)gaussian_stats = calculate_statistics(gaussian_data)print(f"  理论均值: {gaussian_theo['mean']:.6f}, 实际均值: {gaussian_stats['mean']:.6f}, "f"误差: {abs(gaussian_stats['mean'] - gaussian_theo['mean']):.6f}")print(f"  理论方差: {gaussian_theo['variance']:.6f}, 实际方差: {gaussian_stats['variance']:.6f}, "f"误差: {abs(gaussian_stats['variance'] - gaussian_theo['variance']):.6f}")print(f"  实际最小值: {gaussian_stats['min']:.6f}")print(f"  实际最大值: {gaussian_stats['max']:.6f}")if __name__ == "__main__":# 指定的均值和方差target_mean = 5.0target_variance = 10.0sample_size = 500000  # 样本量越大，实际值越接近理论值compare_distributions(target_mean, target_variance, sample_size)

1. 程序运行

1. 将编写的代码保存为suijibianliang.py文件
2. 执行运行命令

1. 结果记录

1. 等待程序运行完成，观察终端输出的统计结果

1. 记录均匀分布的理论值与实际值（均值、方差、最大值和最小值）及误差
2. 记录高斯分布的理论值与实际值（均值、方差、最大值和最小值）及误差
3. 修改样本量参数，修改均值参数，修改方差参数，重复运行
4. 记录实验结果并分析

实验原理

1. 均匀分布

均匀分布 U (a, b) 是指在区间 [a, b) 内的概率密度为常数的连续概率分布：

概率密度函数：f (x) = 1/(b-a)，当 a ≤ x < b

理论均值：μ = (a + b) / 2

理论方差：σ² = (b - a)² / 12

根据给定的目标均值μ和方差σ² ，可以反推出参数：

a = μ - √(3σ²)

b = μ + √(3σ²)

对应代码为：

a = mean - math.sqrt(3 * variance)

b = mean + math.sqrt(3 * variance)

np.random.uniform (a, b, size) 生成 [a, b) 区间内的均匀分布随机数

1. 高斯分布

高斯分布 N (μ, σ²) 是一种常见的连续概率分布：

概率密度函数：f(x) = (1/√(2πσ²))·exp[-(x-μ)²/(2σ²)]

理论均值：μ

理论方差：σ²

np.random.normal (mean, std, size) 生成指定均值和标准差的正态分布随机数

1. 统计量计算

对生成的随机数样本，计算以下统计量：

样本均值：x̄ = (1/n)·Σxᵢ

样本方差：s² = (1/n)·Σ(xᵢ - x̄)²

最小值：min(xᵢ)

最大值：max(xᵢ)

• 实验结果并分析

1. 样本量大小对实际值与理论值误差的影响

修改样本量参数：sample_size分别为5000、50000、500000

当样本量逐渐增大时，样本的统计量会逐渐趋近于总体的理论值；

样本量越大：实际统计值与理论值的误差越小；样本量越小：随机波动的影响越显著，误差较大

1. 比较均匀分布和高斯分布的统计特性差异

修改均值参数：target_mean分别为0、10、20

修改方差参数：target_variance分别为1、5、10

均匀分布的均值μ=(a+b)/2，位于区间正中心；方差σ²=(b-a)²/12，仅由区间长度决定

高斯分布的均值μ为分布的中心对称点；方差σ²决定分布的 "胖瘦"，值越大离散度越高

1. 均匀分布的实际最大值和最小值与理论值的接近程度

均匀分布 U (a,b) 的理论最小值为a，理论最大值为b，所有随机数严格落在 [a,b) 区间内；

当样本量较小时，实际最大值可能小于b，实际最小值可能大于a，与理论值有明显差距；当样本量增大时，实际最值会非常接近理论值a和b；当样本量足够大时，实际最值几乎与理论值重合

1. 分析高斯分布的实际最大值和最小值的变化规律

高斯分布没有严格的理论最值，理论上随机数可取值到 ±∞，但极端值出现的概率极低；

样本量越大，实际最大值可能越大，实际最小值可能越小；标准差σ越大，实际最值的波动范围越广；相同样本量下，多次实验的实际最值会有波动，但整体围绕μ±kσ的范围波动

• 总结

1. 随着样本量增加，极端值对整体统计结果的影响会被稀释，样本更能反映总体的真实特性；
2. 均匀分布是平等的取值分布，而高斯分布是中心聚集的取值分布；
3. 均匀分布的随机数在区间内均匀取值，样本量越大，随机数覆盖整个区间的概率越高，因此实际最值会逐渐逼近理论边界a和b；
4. 高斯分布的取值范围符合“3σ原则”，概率集中在均值附近，极端值罕见，实际最值无固定边界，但随样本量增大呈现可预测的扩展趋势

实验报告要求

（1）编写Matlab或Python程序实现产生指定均值和方差的均匀分布和高斯分布的随机数；

（2）求该随机数的最大值、最小值、均值和方差，并与理论值相比较。