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目录

1. 快乐数

1.1 题目分析

1.2 解法

1.3 代码实现

2. 盛水最多的容器

2.1 题目分析

2.2 解法

2.3 代码实现

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1. 快乐数

202. 快乐数 - 力扣（LeetCode）

编写一个算法来判断一个数 n 是不是快乐数。

「快乐数」 定义为：

• 对于一个正整数，每一次将该数替换为它每个位置上的数字的平方和。
• 然后重复这个过程直到这个数变为 1，也可能是 无限循环 但始终变不到 1。
• 如果这个过程 结果为 1，那么这个数就是快乐数。

如果 n 是 快乐数 就返回 true；不是，则返回 false 。

示例 1：

输入：n = 19
输出：true
解释：
12 + 92 = 82
82 + 22 = 68
62 + 82 = 100
12 + 02 + 02 = 1

示例 2：

输入：n = 2
输出：false

提示：

• 1 <= n <= 231 - 1

1.1 题目分析

• 操作定义：对于一个正整数 n ，x操作计算其各位数字的平方和。例如，n = 19：
  • 第一次操作：1^2 + 9^2 = 1 + 81 = 82
  • 第二次操作：8^2 + 2^2 = 64 + 4 = 68，依此类推。
• 循环特性：重复 x 操作时，数据必然进入循环（死循环）。原因如下：
  • 设 x 操作后最大可能值为 9^2 \times 10 = 810 （因为10位数的最大值 9999999999 的平方和不超过810）。
  • 变化范围被限制在 [1, 810] 区间内。
  • 根据鸽巢原理（元素数量超过容器大小时必有重复），经过大于811次操作后，必然出现重复值，形成循环。
• 循环类型：
  • 情况一：循环固定于 1 （即 1 \to 1 \to 1 ），此时该数为快乐数。
  • 情况二：循环在其他值间发生（如 4 \to 16 \to 37 \to 58 \to 89 \to 145 \to 42 \to 20 \to 4 \cdots），但不涉及 1。
  • 两种情况互斥，因此只需检测循环是否在 1 处发生。

1.2 解法

我们可以使用快慢指针来解决，快慢指针是一种高效检测循环的方法。其原理在于：在循环序列中，快指针总会追上慢指针。

算法步骤：

a）初始化指针

• 慢指针 slow ：起始于输入数 n 。
• 快指针 fast ：起始于 x 操作一次后的值（即 bitSum(int n)）

b）移动指针

• 慢指针每次执行一次x操作：slow = bitSum(slow)
• 快指针每次执行两次x操作：fast = bitSum(bitSum(fast))
• 重复此过程，直到 slow 与 fast 相遇。

c）判断结果

• 如果相遇时 slow = 1（或 fast = 1），则是快乐数。
• 否则，不是快乐数。

d）关键函数

x操作的核心是提取一个数$n$的各位数字并计算平方和。方法如下：

• 初始化临时变量 int sum  = 0，int t = 0；
• 循环操作：
  • 提取个位数字：t = n %10
  • 累加平方：sum += t*t 
  • 更新 n：n = n / 10（整数除法）
• 当 n = 0 时停止，返回 sum。

1.3 代码实现

以下是 Java 的代码实现

class Solution {public int bitSum(int n){int sum = 0;while(n>0){int t = n%10;sum += t*t;n = n/10;}return sum;}public boolean isHappy(int n) {int slow = n;int fast = n;while(true){slow = bitSum(slow);fast = bitSum(bitSum(fast));if(slow == fast){break;}}if(slow == 1){return true;}else{return false;}}
}

2. 盛水最多的容器

11. 盛最多水的容器 - 力扣（LeetCode）

给定一个长度为 n 的整数数组 height。有 n 条垂线，第 i 条线的两个端点是 ( i , 0 ) 和 ( i ,height[i] ) 。

找出其中的两条线，使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。

返回容器可以储存的最大水量。i n

说明：你不能倾斜容器。

2.1 题目分析

在解决容器最大容积问题时，给定一个数组 height ，其中 height[i] 表示位置$i$处柱子的高度，目标是找到两个柱子，使它们与 x 轴形成的容器能容纳最多的水。容器的容积由宽度（索引差）和高度（较小柱子高度）决定。对撞指针算法通过双指针高效枚举可能解，避免不必要的计算。

2.2 解法

1. 初始化指针：

   • 设left指针指向数组起始位置（索引0），right指针指向数组末尾位置（索引len(height)-1）。
   • 初始化最大容积max_area = 0。

2. 指针移动逻辑：

   • 计算当前容积：int v = Math.min(height[left],height[right])*(right-left);
   • 更新体积为当前最大值。设体积 ret = Math.max(ret,v);
   • 关键决策：比较 height[left] 和 height[right] ：
     • 若 height[left]<height[right] ，则移动左指针 left++。
       • 原因：较小高度限制了容积。移动较小边界（左边界）可能遇到更高柱子，从而增大容积；而移动右边界只会减小宽度，受限于当前最矮的柱子，只能体积减小。
     • 否则 height[left]>height[right]  ，移动右指针 right-- 。
       • 原因：类似逻辑，移动较小边界（右边界）可能增大容积。
   • 重复以上过程，直到 left >= right。

3. 终止条件：

   • 当 left  和 right 相遇时，所有有效组合已枚举完毕，返回 ret。

2.3 代码实现

class Solution {public int maxArea(int[] height) {int left = 0, right = height.length-1,ret = 0;while(left<right){int v = Math.min(height[left],height[right])*(right-left);ret = Math.max(ret,v);if(height[left]<height[right]) left++;else right--;}return ret;}
}