【算法训练营Day26】动态规划part2

01背包理论基础（二维）

01背包代表的就是有多种不同价值、重量的物品，背包承载的物品重量有限，每个物品的数量只有一个，怎么放进背包价值最高。

01背包的dp数组可以是二维的也可以是一维的，先说二维更好理解。

我们从dp四部曲来分析背包问题：

• dp数组及下标的含义：在二维dp数组中，一个维度是物品，另一个维度代表背包的容量。dp[i][j]表示把0 ~ i号物品放到容量为j的背包中最大的价值是多少。
• 递推公式：dp[i][j]可以从dp[i - 1][]推导而来，一种是有物品i，另一种是没有物品i。如果没有物品i，那么可以直接从dp[i - 1][j]推导而来，如果有物品i，那么就需要从dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]推导得到。所以最终两者取最大值就是dp[i][j] = max(dp[i - 1][j]，dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])
• 初始化：首先根据含义j等于0的情况背包什么都装不了，所以可以将dp[i][0]全部初始化为0。再根据递推式，我们肯定需要dp[0][j]的数据，那么j < weight[0]的时候dp[0][j]为0，j >= weight[0]的时候dp[0][j] = value[0]。其余位置使用默认值0就可以。
• 遍历顺序：根据递推式，dp[i][j]依赖上方与左上方的数据，先遍历物品，再遍历背包，更好理解。先遍历背包，再遍历物品也可以。

在实际的问题中很少会出现直接的01背包问题，要将问题进行转化，如果能转化到背包的最大价值，那么就可以尝试使用背包问题的解法。

01背包典例（装满背包的最大价值）

题目链接：46. 携带研究材料

代码如下，要注意的是背包的容量是从0开始计算的，所以对应的长度要 + 1；

import java.util.*;public class Main {public static void main(String[] args){Scanner in = new Scanner(System.in);int item = in.nextInt();int bag = in.nextInt();int[] space = new int[item];int[] values = new int[item];for(int i = 0;i < item;i++) space[i] = in.nextInt();for(int i = 0;i < item;i++) values[i] = in.nextInt();//初始化int[][] dp = new int[item][bag + 1];for(int i = 1;i <= bag;i++) {if(i < space[0]) dp[0][i] = 0;else dp[0][i] = values[0];}//遍历for(int i = 1;i < item;i++) {for(int j = 1;j <= bag;j++) {if(j < space[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - space[i]] + values[i]);}}System.out.println(dp[item - 1][bag]);}
}

01背包理论基础（一维）

通过递推式我们可以知道，当前层的数据只与上一层有关，那么我们其实干脆就可以在上一行的基础上进行更新，而无需新启一行。这就是滚动数组，通过滚动数组我们可以将二维的dp数组优化到一维。

从dp四部曲来分析的话，遍历这一步有很大的变化：

• 只能倒序遍历：这是为了保证物品i只被添加一次。加入我们还是使用正序遍历，那么我们的dp数组随着遍历的进行会出现左边一部分对应的是物品i的情况，而右半部分对应的是物品i - 1的情况，这样我们在进行正序递推的时候可能会出现需要物品i - 1的数据已经被物品i给覆盖了。
• 只能先遍历物品再遍历背包

代码如下：

import java.util.*;public class Main {public static void main(String[] args){Scanner in = new Scanner(System.in);int item = in.nextInt();int bag = in.nextInt();int[] space = new int[item];int[] values = new int[item];for(int i = 0;i < item;i++) space[i] = in.nextInt();for(int i = 0;i < item;i++) values[i] = in.nextInt();//初始化int[] dp = new int[bag + 1];//遍历for(int i = 0;i < item;i++) {for(int j = bag;j > 0;j--) {if(j >= space[i]) dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j - space[i]] + values[i]);}}System.out.println(dp[bag]);}
}

分割等和子集（能不能装满背包）

题目链接：416. 分割等和子集

解题思路：

这个问题可以转化为数组中的元素能否构成target，target是数组元素和的一半。因为数组的元素只能使用一次，将数字的值当作重量以及价值，也就是说看容量为target的背包能否装满。再转化一下：也就是看背包的最大价值，如果最大为target，就说明装满了。这个问题可以使用01背包来解决。

解题代码：

class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {int item = nums.length;int sum = 0;for(int num : nums) sum += num;if(sum % 2 != 0) return false;int bag = sum / 2;int[] dp = new int[bag + 1];for(int i = 0;i < item;i++) {for(int j = bag;j > 0;j--) {if(j >= nums[i]) dp[j] = Math.max(dp[j - nums[i]] + nums[i],dp[j]);}if(dp[bag] == bag) return true;}return false;}
}

最后一块石头的重量II（背包最多能装多少）

题目链接：1049. 最后一块石头的重量 II

解题思路：

本题乍一看和动态规划没什么联系，我们可以将问题转化一下。如果要让剩下的石头质量尽量地小，那么我们需要将石头分为尽量相等的两堆相撞即可。这就与上一题有很大的相似性，只不过上一题可以严格的相等。

代码如下：

class Solution {public int lastStoneWeightII(int[] stones) {if(stones.length == 1) return stones[0];int item = stones.length;int sum = 0;for(int stone : stones) sum += stone;int bag = sum / 2;int[] dp = new int[bag + 1];int min = bag;for(int i = 0;i < item;i++) {for(int j = bag;j > 0;j--) {if(j >= stones[i]) dp[j] = Math.max(dp[j - stones[i]] + stones[i],dp[j]);}int result = Math.abs(dp[bag] - (sum - dp[bag]));if(result < min) min = result;}return min;}
}

目标和（装满背包有多少种方式）

题目链接：494. 目标和

解题逻辑：

将下面两个式子联立，得到正数 = （target + sum）/ 2

• 正数 - 负数 = target
• 正数 + 负数 = sum

也就是说我们我们只用选取数组中的正数，正好达到（target + sum）/ 2即可。这也就转化成了想要将（target + sum）/ 2 容量的背包正好装满有多少种方法？

从dp四部曲来看：

• dp数组及下标的含义：dp[j]表示能将j容量的背包装满的方式
• 递推关系式：dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]]。不放物品与放物品两种情况，不放物品就有dp[j]方式，放物品就有dp[j - nums[i]]方式
• 初始化方式：i = 0的时候，将dp[0]初始化为1，代表不放物品装满。dp[nums[0]]++,表示放当前物品装满；
• 遍历方式：从后往前遍历

代码如下：

class Solution {public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {int sum = 0;for(int num : nums) sum += num;if((sum + target) % 2 != 0) return 0;int bag = (sum + target) / 2;if(bag < 0) return 0;int[] dp = new int[bag + 1];//初始化dp[0] = 1;if(nums[0] <= bag) dp[nums[0]]++;//遍历for(int i = 1;i < nums.length;i++) {for(int j = bag;j >= 0;j--) {if(nums[i] <= j) dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]]; }}return dp[bag];}
}

一和零（装满背包最多用多少个物品）

题目链接：474. 一和零

解题逻辑：

本题的一大特点就是背包具有多个维度对0的个数，1的个数都有限制。那么我们的dp数组就需要用二维的。

接下来从dp四部曲分析：

• dp数组以及下标的含义：dp[i][j]表示该背包最多允许i个0，j个1时最多能装几个元素
• 递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - m][j - n] + 1,dp[i][j])
• 初始化：全部初始化为0
• 遍历：从下往上，从右往左。防止当前字符串被重复添加。

解题代码：

class Solution {public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];for(String str : strs) {int num0 = 0;int num1 = 0;for(char c : str.toCharArray()) {if(c == '0') num0++;else num1++;}for(int i = m;i >= 0;i--) {for(int j = n;j >= 0;j--) {if(i - num0 >= 0 && j - num1 >= 0) {dp[i][j] = Math.max(dp[i - num0][j - num1] + 1,dp[i][j]);}}}}return dp[m][n];}
}