振动力学|01 单自由度系统的振动分析

振动力学|01 单自由度系统的振动分析

---

⭐ 🌟 💫

⭐ 《远山少年》 💫

---

单自由度系统的自由振动

最典型的单自由度系统的自由振动是弹簧质量系统。

无粘性阻尼的自振动

对于不计阻尼的单自由度系统,仅有刚度$k$的无质弹簧与质点只可沿弹簧轴线方向运动,以平衡位置为坐标原点的运动微分方程：

$$\ddot{x}+{\omega }_n^{2}x=0$$

其中，${\omega }_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{g}{{\lambda }_s}}$。

定理:任意时刻初始信息推导全局运动方程。
设$t=\tau$时刻的初始位移和初始速度：$x_{\tau }$与${\dot{x}}_{\tau }$。有：
$$x(t)=x_{\tau }\cos ({\omega }_n(t-\tau ))+\frac{{\dot{x}}_{\tau }}{{\omega }_n}\sin ({\omega }_n(t-\tau ))$$

除了通过矢量力学的方法，还可以通过能量方法求得系统的运动微分方程，设系统任意一个时刻的动能为$T$以及势能$U$,由机械能守恒：

$$\frac{\mathrm{d}(T+U)}{\mathrm{dt}}=0$$

由于实际工程问题中，弹性元件的质量不可忽略，因此需要在一定的振动时的形状假设下，进行更精确的计算。设质量为$m$的单位位移时弹簧距离非自由端$s$处的位移$f(s)$，那么在该点处的位移函数：

$$\eta (s,t)=x(t)f(s),0\le s\le l$$

因此，相关的物理量计算如下。

首先，弹簧上一点的速度计算为：
$$\dot{\eta }(s,t)=\dot{x}(t)f(s)$$

其次，弹簧整体的动能：

$$\begin{array}{rl}{T}_k& ={\int }_0^l\frac{1}{2}\rho {\dot{\eta }}^2(s,t)\mathrm{d}s\\ & =\frac{1}{2}\rho {\dot{x}}^2{\int }_0^l{f}^2(s)\mathrm{d}s\end{array}$$

记弹簧等效质量：$m_e={\int }_0^l{f}^2(s)\mathrm{d}s$

有粘性阻尼的自由振动

最常用的一种阻尼模型是粘性阻尼,或者称粘滞阻尼，其特性为与相对速度大小成正比，即：

$$P_d=cv$$

其中，$P_d$是粘性阻尼力，$v$是相对速度，$c$是阻尼系数。

这里详细介绍一下粘性阻尼的生成机制

如图展示了一个直径为$D$长度为$L$的活塞，带有$n$和直径为$d$的小孔。油的黏度为$\mu$,密度为$\rho$
由Hagen - Poiseuille 公式：
$$\Delta p=\frac{32L\mu \overline{v}}{d^2}$$
由流体的连续性假设：
$$\overline{v}=\frac{1}{n}{\left(\frac{D}{d}\right)}^{2}v$$
将$\overline{v}=\frac{1}{n}{\left(\frac{D}{d}\right)}^{2}v$代入Hagen - Poiseuille 公式：
$$\Delta p=\frac{32L\mu }{n{D}^2}{\left(\frac{D}{d}\right)}^{4}v$$
对活塞受力分析忽略活塞重力并由压强的定义,知道作用于活塞上的阻力$F_d$：
$$\Delta p=\frac{F_d}{\frac{\pi }{4}{d}^2}$$
代入即可得到：
$$F_d=4\pi L\mu {\left(\frac{D}{d}\right)}^{4}v$$
加上方向有：
$${\mathbf{F}}_d=-4\pi L\mu {\left(\frac{D}{d}\right)}^4\mathbf{v}$$

对于粘性阻尼的自由振动，我们可以得到如下运动微分方程：

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$$

记:
$$\{\begin{array}{l}\xi \triangleq \frac{c}{2m{\omega }_n}\\ {\omega }_n\triangleq \sqrt{\frac{k}{m}}\end{array}$$

上述动力学方程转化为：

$$\ddot{x}+2\xi {\omega }_{n}x+{\omega }_n^{2}x=0$$

接下来需要对这个微分方程进行分析，这里介绍两种不同的角度：

角度一：从特征方程方法确定解的性质

这一部分要求熟悉高数的二阶常系数线性齐次微分方程求解方法。

关于这一部分可以去我的“分析与几何专栏下的ODE查看”。这里做简要的介绍：

特征方程根 $r^2+pr+q=0$ 的情况	微分方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$ 通解公式
相异实根 $r_1\ne r_2$	$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
相等实根 $r_1=r_2$	$y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x}$
一对共轭复根 $r_{1,2}=\alpha \pm i\beta$	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$

有阻尼情况下的振动方程的特征方程为：

$$r^2+2\xi {\omega }_{n}r+{\omega }_n^2=0$$

特征值为:

$$r_{1,2}=\left(-\xi \pm \sqrt{{\xi }^2-1}\right){\omega }_n$$

如图对不同的阻尼比进行讨论，可以得到不同形式的初解：

1. 当$\xi =0$,时：

$$r_{1,2}=\pm j{\omega }_n$$

此时的解为：

$$x(t)=C_1{e}^{j{\omega }_{n}t}+C_2{e}^{-j{\omega }_{n}t}\stackrel{e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }{=}{A}_1\cos {\omega }_{n}t+A_2\sin {\omega }_{n}t$$

其中，$C_1,C_2\in \mathbb{C}$，$A_1,A_2\in \mathbb{R}$。

2. 当 $\xi \in [0,1)$

$$r_{1,2}=\left(-\xi \pm j\sqrt{1-{\xi }^2}\right){\omega }_n$$

此时的解为：

$$\begin{array}{rl}x(t)& =e^{-\xi {\omega }_{n}t}\cdot e^{j{\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}t}+e^{-\xi {\omega }_{n}t}\cdot e^{-j{\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}t}\\ & =e^{-\xi {\omega }_{n}t}\left[A_1\cos ({\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}t)+A_2\sin ({\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}t)\right]\end{array}$$

3. $\xi =1$时,

$$r_{1,2}=-{\omega }_n$$

此时的解为：

$$x(t)=\left(A_1+A_{2}x\right)e^{-{\omega }_{n}t}$$

4. 当 $\xi >1$时,

$$r_{1,2}=\left(-\xi \pm \sqrt{{\xi }^2-1}\right){\omega }_n$$

此时的解为：

$$x(t)=A_1{e}^{\left(-\xi -\sqrt{{\xi }^2-1}\right){\omega }_{n}t}+A_2{e}^{\left(-\xi +\sqrt{{\xi }^2-1}\right){\omega }_{n}t}$$

角度二：使用$\mathcal{L}$变换

以后说。

对以上不同阻尼比下的动力学方程进行仿真如图所示：

单自由度系统的简谐强迫振动

简谐激励力下的强迫振动

对于单自由度的系统而言，现考虑其受到正弦激励$P_0\sin \omega t$,由矢量力学得：

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=P_0\sin \omega t$$

记相对阻尼系数为$\zeta$,$\zeta =\frac{n}{{\omega }_n}=\frac{c}{2m{\omega }_n}$,将公式$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=P_0\sin \omega t$转化：

$$\ddot{x}+2\zeta {\omega }_n\dot{x}+{\omega }_n^{2}x=\frac{P_0\sin \omega t}{m}$$

延拓复数域后，原方程转化为：

$$\ddot{X}+2\zeta {\omega }_n\dot{X}+{\omega }_n^{2}X=\frac{P_0{e}^{j\omega t}}{m}$$

设特解的形式为：

$$\tilde{X}(t)=\tilde{X}{e}^{j\omega t}$$
其中，$\tilde{X}$为复振幅。

可以求得：

$$\tilde{X}(t)=\frac{P_0}{m}\frac{e^{j\omega t}}{{\omega }_n^2-{\omega }^2+j2\zeta {\omega }_n\omega }$$

化简后为：

$$\tilde{X}(t)=\frac{P_0}{m\sqrt{{\left({\omega }_n^2-{\omega }^2\right)}^2+{\left(2\zeta {\omega }_n\omega \right)}^2}}{e}^{j\left(\omega t-\arctan \frac{2\zeta {\omega }_n\omega }{{\omega }_n^2-{\omega }^2}\right)}$$

若记频率比$r=\frac{\omega }{{\omega }_n}$,特解可化简为：

$$\tilde{X}(t)=\frac{\frac{P_0}{k}}{\sqrt{(1-r^2{)}^2+(2\zeta r{)}^2}}{e}^{j\left(\omega t-\arctan \frac{2\zeta r}{1-r^2}\right)}$$

由于力是取虚部，因此实际位移为虚部,得到实特解：

$$\begin{array}{rl}\tilde{x}(t)& =\text{Im}\left[\frac{\frac{P_0}{k}}{\sqrt{(1-r^2{)}^2+(2\zeta r{)}^2}}{e}^{j\left(\omega t-\arctan \frac{2\zeta r}{1-r^2}\right)}\right]\\ & =\frac{\frac{P_0}{k}}{\sqrt{(1-r^2{)}^2+(2\zeta r{)}^2}}\sin \left(\omega t-\arctan \frac{2\zeta r}{1-r^2}\right)\end{array}$$

我们称$M$为振幅放大因子：

$$M=\frac{1}{\sqrt{(1-r^2{)}^2+(2\zeta r{)}^2}}$$

我们对放大因子$M$与阻尼比$\zeta$和频率比$r$之间进行如图所示数值仿真：

当$r=\sqrt{1-2{\zeta }^2}$的时候,$M$达到最大值：

$$M_{max}=M{|}_{r=\sqrt{1-2{\zeta }^2}}=\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}$$

旋转不平衡质量引起的强迫振动

如图是一个质量$M$的系统，其中$m$的偏心质量绕某点旋转，偏心距离为$e$，对$M-m$分析则这个系统的运动微分方程为：

$$\left(M-m\right)\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+m\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}\left(x+e\sin \omega t\right)+c\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+kx=0$$

整理后得到：

$$M\ddot{x}+c\dot{x}+kx=me{\omega }^2\sin \omega t$$

容易得到特解：

$$\begin{array}{rl}\tilde{x}(t)& =\text{Im}\left[\frac{\frac{me{\omega }^2}{k}}{\sqrt{(1-r^2{)}^2+(2\zeta r{)}^2}}{e}^{j\left(\omega t-\arctan \frac{2\zeta r}{1-r^2}\right)}\right]\\ & =\frac{\frac{me{\omega }^2}{k}}{\sqrt{(1-r^2{)}^2+(2\zeta r{)}^2}}\sin \left(\omega t-\arctan \frac{2\zeta r}{1-r^2}\right)\\ & =\frac{\frac{m}{M}e{r}^2}{\sqrt{(1-r^2{)}^2+(2\zeta r{)}^2}}\sin \left(\omega t-\arctan \frac{2\zeta r}{1-r^2}\right)\end{array}$$

那么这一波的放因子定义为：

$$\frac{MX}{me}=\frac{r^2}{\sqrt{(1-r^2{)}^2+(2\zeta r{)}^2}}$$

对其数值仿真如图所示：

基础运动引起的强迫振动

如图为基础运动引起的强迫振动示意图，首先是机架以$y=Y\sin \omega t$的形式振动，可知系统的运动微分方程：

$$m\ddot{x}=-k(x-y)-c(\dot{x}-\dot{y})$$

这个方程转化为：

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=c\dot{y}+ky$$

任然使用拓展到复数域的方法,设：

$$\{\begin{array}{l}Y{e}^{j\omega t}\\ \tilde{X}(t)=X{e}^{j\omega t}\end{array}$$

不拿求出特解：
$$\tilde{X}(t)=Y\sqrt{\frac{1+(2\zeta r{)}^2}{(1-r^2{)}^2+(2\zeta r{)}^2}}{e}^{j\left(\omega t-\arctan \frac{2\zeta r^3}{1-r^2+4{\zeta }^2{r}^2}\right)}$$

非简谐激励强迫振动

周期激励下的强迫振动

各激励力的共同作用引起的线性系统响应与各激励力的分作用引起的线性系统响应和。对于满足傅里叶展开条件的函数，可以以$T$展开：

$$F(t)=A_0+\sum _{k=1}^{\infty }\left[A_k\cos (k{\omega }_{0}t)+B_k\sin (k{\omega }_{0}t)\right]$$

其中
$$A_0=\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}F(t)\mathrm{d}t$$
$$A_k=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}F(t)\cos (k{\omega }_{0}t)\mathrm{d}t(k=1,2,\dots )$$

$$B_k=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}F(t)\sin (k{\omega }_{0}t)\mathrm{d}t(k=1,2,\dots )$$

对每一个激励都进行计算，进而求和得到最后结果。

$$\begin{array}{rl}x(t)=& \frac{A_0}{2k}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{A_n}{k\sqrt{(1-r_n^2{)}^2+(2\zeta r_n{)}^2}}\cos (n\omega t-{\phi }_n)\\ & +\sum _{n=1}^{\infty }\frac{B_n}{k\sqrt{(1-r_n^2{)}^2+(2\zeta r_n{)}^2}}\sin (n\omega t-{\phi }_n)\end{array}$$
其中，$r_n=nr$,${\phi }_n=\arctan \frac{2\zeta r_n}{1-r_n^2}$。

一般激励下的系统响应

一般激励力下的系统响应

$$x(t)=\frac{1}{m{\omega }_d}{\int }_0^{t}F(\tau ){\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_n(t-\tau )}\sin {\omega }_d(t-\tau )\mathrm{d}\tau$$

一般基础运动激励下的系统响应

$$x(t)=\frac{1}{m{\omega }_d}{\int }_0^t\left[c\dot{y}(\tau )+ky(\tau )\right]{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_n(t-\tau )}\sin {\omega }_d(t-\tau )\mathrm{d}\tau$$