使用Eigen矩阵库，计算Ax = B (m＞n)矩阵的方法
在使用 Eigen 矩阵库求解超定线性方程组Ax=B（其中m>n，即方程个数多于未知数个数）时，通常采用最小二乘法来求解最优解 x。Eigen 提供了多种方法来求解此类问题，最常用的是 SVD 分解（如 BDCSVD）或 QR 分解。
推荐方法：使用 SVD 求最小二乘解
最小二乘解的数学公式为：
x=A+B
其中 A+ 是矩阵 A 的伪逆（Moore-Penrose 伪逆），可通过 SVD 计算。
在 Eigen 中推荐使用 BDCSVD（适用于大矩阵）或 JacobiSVD：
使用例程如下：
#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>
using namespace Eigen;
using namespace std;
int main() {
int m = 6, n = 3; // m > n: 超定方程组
MatrixXd A(m, n);
VectorXd B(m);
// 示例数据
A << 1, 2, 3,
4, 5, 6,
7, 8, 9,
2, 1, 3,
5, 6, 7,
8, 9, 10;
B << 1, 2, 3, 4, 5, 6;
// 使用 SVD 求解最小二乘解
VectorXd x = A.bdcSvd(ComputeThinU | ComputeThinV).solve(B);
cout << "Solution x: " << x.transpose() << endl;
return 0;
}
其他方法（可选）：
| 方法 | 公式 | Eigen 代码 |
|---|---|---|
| QR 分解（速度快，稳定性中等） | x=A−1_QRB | x = A.colPivHouseholderQr().solve(B); |
| 完全正交分解 | 稳定性好 | x = A.fullPivLu().solve(B);（不推荐用于超定） |
| 正规方程法（不推荐，数值不稳定） | x=(A⊤A)−1A⊤B | x = (A.transpose() * A).ldlt().solve(A.transpose() * B); |
注意：正规方程法虽然形式简单，但A⊤A 可能病态，导致精度差，不推荐用于实际工程。
总结
- 当 m>n 时，使用
A.bdcSvd().solve(B)是最稳定、推荐的方法。 - 避免使用正规方程法，除非矩阵条件数很好。