【数据结构】常用数据结构深度剖析
（一）数组：高效查询的利器
数组是一种用一组连续的内存空间来存储一组具有相同类型数据的线性结构，就像是一排紧密相连的小房间，每个房间都住着一个数据元素，并且这些房间的编号（也就是数组的下标）是连续的。这使得数组在内存中占据一段连续的存储空间，通过下标可以快速定位到对应的元素，查询操作的时间复杂度为 O (1) ，就如同在一个按编号排列的宿舍中，我们可以根据房间号迅速找到对应的宿舍。例如，在一个存储学生成绩的数组中，我们可以通过学生的编号（即数组下标）快速获取到该学生的成绩。
不过，数组的增删操作相对麻烦。当需要在数组中间插入或删除元素时，需要移动大量的元素，时间复杂度为 O (n)。比如，在一个有序的数组中插入一个新元素，为了保持数组的有序性，可能需要将插入位置之后的所有元素都向后移动一个位置，这在数据量较大时会消耗大量的时间和资源。 数组适用于需要频繁进行查询操作，且数据量相对固定，不需要频繁进行插入和删除操作的场景，如数据库中的索引、科学计算中的矩阵存储等。在数据库索引中，通过数组可以快速定位到对应的数据记录，提高查询效率；在科学计算中，数组可以方便地存储和处理矩阵数据，进行各种数学运算。
（二）栈：后进先出的规则执行者
栈是一种特殊的线性表，它遵循后进先出（LIFO, Last In First Out）的原则，就像一个只允许从顶部放入和取出物品的箱子，最后放入箱子的物品会最先被取出。栈只允许在一端进行操作，这一端被称为栈顶，另一端则为栈底 。栈的操作主要有入栈（push）和出栈（pop），入栈是将元素添加到栈顶，出栈是从栈顶移除元素。
在函数调用中，栈发挥着至关重要的作用。当一个函数被调用时，系统会将函数的参数、局部变量等信息压入栈中，形成一个栈帧。当函数执行完毕后，这些信息会从栈中弹出，栈顶指针也会相应地移动。例如，在一个递归函数中，每次递归调用都会将新的参数和局部变量压入栈中，当递归返回时，这些信息会依次弹出，从而保证函数的正确执行。在表达式求值中，栈也被广泛应用。比如，对于一个中缀表达式 “3 + 4 * 2 / ( 1 - 5) ^ 2 ^ 3”，我们可以使用栈来将其转换为后缀表达式，然后再进行求值。具体过程是，从左到右扫描中缀表达式，遇到操作数直接输出，遇到运算符则根据其优先级和栈的状态进行处理，将运算符压入栈中或从栈中弹出输出，最终得到后缀表达式，再通过栈进行求值运算 。
（三）队列：先进先出的秩序维护者
队列是一种遵循先进先出（FIFO, First In First Out）原则的线性结构，它就像一个排队等待服务的队伍，先进入队列的元素会先被处理。队列有两个端点，分别是队头和队尾，元素从队尾入队，从队头出队 。队列的基本操作包括入队（enqueue）和出队（dequeue），入队是将元素添加到队尾，出队是从队头移除元素。
在多线程编程中，阻塞队列常用于管理线程的任务队列。当一个线程生产任务时，将任务放入阻塞队列中；当另一个线程需要执行任务时，从阻塞队列中取出任务。如果队列为空，那么取出任务的线程会被阻塞，直到有新的任务被放入队列中；如果队列已满，那么放入任务的线程会被阻塞，直到有任务被取出，从而保证了多线程环境下任务的有序处理和线程的同步。在消息传递系统中，队列可以用于存储和传递消息。例如，在一个分布式系统中，不同的组件之间可以通过队列来传递消息，保证消息的顺序性和可靠性 。
（四）链表：灵活多变的存储方式
链表是一种通过指针将数据元素连接起来的线性结构，每个节点包含数据部分和指向下一个节点的指针，就像一条由多个节点组成的链条，每个节点都通过指针与下一个节点相连。链表的物理存储不连续，它通过指针来实现数据元素之间的逻辑顺序 。链表的节点可以在内存中的任意位置，只要它们通过指针相互连接，就能够构成一个完整的链表结构。
链表的插入和删除操作非常灵活，只需要修改指针的指向，时间复杂度为 O (1)。比如，在一个链表中插入一个新节点，只需要找到插入位置的前一个节点，将其指针指向新节点，然后将新节点的指针指向下一个节点即可，不需要移动其他节点的数据。链表不需要预先分配大量的存储空间，它可以根据实际需要动态地分配和释放节点，因此不会出现碎片现象，能充分利用所有存储单元 。然而，链表不能通过索引直接访问元素，需要从头节点开始逐个遍历，时间复杂度为 O (n)，这在需要频繁访问特定位置元素的场景中效率较低。 链表适用于需要频繁进行插入和删除操作，且数据量不确定，不需要频繁进行随机访问的场景，如操作系统中的进程调度、音乐播放器的播放列表等。在操作系统进程调度中，链表可以用来存储进程的信息，方便地进行进程的添加和删除操作；在音乐播放器的播放列表中，链表可以用来管理歌曲的顺序，方便用户进行歌曲的添加、删除和切换操作 。
（五）树：层次分明的结构典范
树是一种非线性结构，它由一个根节点和若干个子树组成，每个子树也是一棵树，具有明显的层次关系，就像一棵现实中的树，从根部开始，不断分支，形成一个复杂而有序的结构。树中的每个节点都有一个父节点（根节点除外）和零个或多个子节点 。树的节点包含数据部分和指向子节点的指针，通过这些指针，树中的节点相互连接，形成了一种层次化的数据结构。
二叉树是树的一种特殊形式，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。二叉树在计算机科学中有着广泛的应用，如二叉搜索树用于数据库和文件系统的索引结构，通过二叉搜索树的特性，可以快速地进行数据的查找、插入和删除操作；AVL 树和红黑树用于实现平衡查找表，它们通过自动调整树的结构，保持树的平衡，从而提高查找效率 。在文件系统中，我们可以使用二叉搜索树来存储文件和目录的信息，通过文件名进行快速查找；在数据库中，AVL 树和红黑树可以作为索引结构，提高数据的查询效率 。除了二叉树，还有一些其他的树结构，如 B 树、B + 树等，它们在数据库索引、文件系统等领域也有着重要的应用。B 树和 B + 树通常用于存储大量的数据，它们通过合理的节点设计和层次结构，能够有效地减少磁盘 I/O 操作，提高数据的访问效率 。
（六）图：复杂关系的呈现者
图是一种更为复杂的非线性数据结构，它由一组节点（顶点）和连接这些节点的边组成，节点之间的关系可以是任意的，即一个节点可以与多个其他节点相连，就像一幅地图，地图上的城市是节点，城市之间的道路是边，城市之间的连接关系可以是多种多样的。图中的边可以带有权重，用于表示节点之间的某种关系，如距离、成本等 。图的节点和边可以用来表示各种实际问题中的元素和它们之间的关系，通过对图的分析和处理，可以解决很多复杂的实际问题。
图的存储结构主要有邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示节点之间是否有边相连以及边的权重；邻接表则是通过链表来存储每个节点的邻接节点。图的遍历算法主要有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS） 。深度优先搜索就像在一个迷宫中探索，尽可能地深入，直到无法继续，然后回溯；广度优先搜索则像在水中扩散的涟漪，从起点开始，一层一层地向外扩展。 在社交网络中，我们可以使用图来表示用户之间的关系，节点表示用户，边表示用户之间的关注或好友关系，通过图的分析，可以发现用户群体中的社区结构、影响力较大的用户等；在地图导航中，图可以用来表示城市之间的道路连接，通过图的遍历算法，可以找到从一个城市到另一个城市的最短路径 。
（七）堆：特殊的树形结构
堆是一种特殊的树形结构，它是一棵完全二叉树，并且满足堆的性质：对于大顶堆，每个节点的值都大于或等于其子节点的值；对于小顶堆，每个节点的值都小于或等于其子节点的值。堆通常用数组来实现，通过数组下标来表示节点之间的父子关系 。在数组中，根节点存储在下标为 0 的位置，对于任意一个下标为 i 的节点，它的左子节点下标为 2i + 1，右子节点下标为 2i + 2，父节点下标为 (i - 1) / 2 。
堆在优先队列中有着重要的应用。优先队列是一种特殊的队列，它按照元素的优先级来进行出队操作，优先级高的元素先出队。在堆实现的优先队列中，堆顶元素就是优先级最高的元素，每次出队操作只需要取出堆顶元素，然后调整堆的结构，使其仍然满足堆的性质 。在任务调度系统中，我们可以使用优先队列来管理任务，根据任务的优先级来安排任务的执行顺序；在实时通信系统中，优先队列可以用来处理消息，根据消息的重要性来决定消息的发送顺序 。
（八）散列表：快速查找的神器
散列表，也称为哈希表，是一种根据键值直接访问的数据结构，它通过一个哈希函数将键映射到一个特定的存储位置，就像一个神奇的仓库，每个物品都有一个独特的标签，通过这个标签可以快速找到物品所在的位置。散列表的核心思想是通过哈希函数将键值映射为一个整数，作为数据存储的索引，从而实现快速的查找、插入和删除操作 。
在散列表中，哈希函数的设计非常关键。一个好的哈希函数应该能够将不同的键值均匀地映射到不同的存储位置，减少哈希冲突的发生。然而，由于哈希函数的定义域通常比值域大，哈希冲突是不可避免的。为了解决哈希冲突，常见的方法有开放定址法和链地址法 。开放定址法是当发生冲突时，通过一定的探测策略在散列表中寻找下一个空闲的位置；链地址法是将冲突的元素存储在一个链表中，每个链表对应一个哈希值 。在实际应用中，散列表常用于缓存系统、密码验证等场景。在缓存系统中，散列表可以快速地根据键值查找缓存数据，提高系统的响应速度；在密码验证中，散列表可以用来存储用户的密码哈希值，通过比较输入密码的哈希值和存储的哈希值来验证用户的身份 。
四、数据结构与算法的奇妙联动
（一）算法的基本概念
算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每个指令表示一个或多个操作。它就像是一份详细的烹饪食谱，告诉计算机在面对各种数据时，应该按照怎样的步骤进行处理，以达到预期的结果。算法具有五个重要的特性，分别是输入、输出、有穷性、确定性和可行性，这些特性共同确保了算法的有效性和可靠性 。
输入是算法获取数据的途径，一个算法可以有零个或者多个输入，这些输入用于刻画运算对象的初始情况。例如，在一个计算两个数之和的算法中，就需要输入这两个数；而在一个生成随机数序列的算法中，可能不需要外部输入，因为算法本身已经设定了生成随机数的规则和初始条件 。输出则是算法处理数据后产生的结果，算法至少要有一个输出，输出的形式可以多种多样，比如返回一个值、打印一些信息或者修改某些数据等。就像一个烹饪食谱，最终总会得到一道做好的菜肴，这就是算法的输出 。
有穷性是指算法在执行有限的步骤之后，必然会自动结束，不会陷入无限循环，并且每一个步骤都能在可接受的时间内完成。这一点非常重要，因为如果一个算法永远不会结束，那么它就无法为我们提供有用的结果。以一个简单的查找算法为例，它会在有限的步骤内遍历完数据集合，找到目标元素或者确定目标元素不存在，而不会一直无意义地查找下去 。确定性要求算法的每一个步骤都具有确切的定义，不会出现二义性，无论在什么情况下，相同的输入都必须得到相同的输出。这就好比一份清晰的地图，无论谁按照地图的指示走，都会到达相同的目的地。在一个排序算法中，对于给定的一组数据，无论何时何地运行该算法，得到的排序结果都应该是一致的 。可行性意味着算法的每一步都必须是可行的，能够通过执行有限次数来完成。这要求算法中的操作都是计算机能够实际执行的，比如基本的算术运算、逻辑运算、数据存储和读取等。一个包含无法实现的操作的算法，如要求计算机直接计算无穷大的数值，是没有实际意义的 。 算法在计算机科学中有着广泛的应用，从简单的数学计算到复杂的人工智能算法，从数据库查询到网络通信协议，算法无处不在。在搜索引擎中，算法用于对网页进行索引和排序，以便快速找到用户需要的信息；在图像识别中，算法用于分析图像的特征，识别出图像中的物体；在加密和解密中，算法用于对数据进行加密处理，保证数据的安全性。算法是计算机解决各种问题的核心，它的优劣直接影响着计算机系统的性能和效率 。
（二）时间复杂度与空间复杂度
在计算机科学中，时间复杂度和空间复杂度是衡量算法效率的两个重要指标，它们从不同的角度反映了算法在执行过程中对资源的需求，对于评估算法的性能和选择合适的算法具有至关重要的意义。
时间复杂度是指算法执行所需时间的增长速度，它反映了算法的执行效率，通常使用大 O 符号（Big O notation）来表示。大 O 符号描述了算法执行时间随着输入规模（通常用 n 表示）增加而变化的渐近上界，即当输入规模趋近于无穷大时，算法执行时间的上限情况。常见的时间复杂度有以下几种类型 ：
- O (1)：常数时间复杂度：表示无论输入数据的大小如何，算法的执行时间都是恒定的。例如，访问数组中的一个元素，只需要通过数组的索引直接定位到该元素，这个操作的时间不会随着数组大小的变化而改变，所以时间复杂度为 O (1)。就好比从一排编号固定的柜子中取出指定编号的物品，无论柜子里有多少物品，找到目标物品的时间都是一样的 。
- O (log n)：对数时间复杂度：通常出现在分治算法或二分查找中，随着输入规模增加，执行时间增长较慢。以二分查找算法为例，每次查找都能将搜索范围缩小一半，例如在一个包含 n 个元素的有序数组中查找目标元素，最多需要查找 log₂n 次就能找到或者确定目标元素不存在，所以二分查找的时间复杂度为 O (log n)。这就像在一个多层的书架上找书，每次都能排除一半的层数，随着书架层数的增加，查找次数的增长速度相对较慢 。
- O (n)：线性时间复杂度：表示算法的执行时间与输入数据的大小成正比。比如遍历数组或链表，需要依次访问每个元素，元素数量增加一倍，执行时间也大致增加一倍，因此时间复杂度为 O (n)。这类似于在一条街道上挨家挨户地拜访居民，居民数量越多，拜访所需的时间就越长 。
- O (n log n)：线性对数时间复杂度：常见于高效的排序算法，如归并排序、快速排序。以归并排序为例，它将数组不断地分成两半，然后对每一半进行排序，最后将排序好的子数组合并起来。在这个过程中，划分和合并的操作次数与 n 相关，而递归的深度与 log n 相关，所以总的时间复杂度为 O (n log n)。这种算法在处理大规模数据时，相较于平方时间复杂度的算法，效率有显著提升 。
- O (n²)：平方时间复杂度：通常出现在双重循环的情况下。例如冒泡排序，它通过反复比较相邻元素并交换位置，将较大的元素逐步 “冒泡” 到数组末尾。在最坏情况下，需要进行 n 次比较和 n 次交换，而每次比较和交换都需要常数时间，因此时间复杂度为 O (n²)。随着数据量增大，执行时间的增长非常迅速，当数据规模较大时，这种算法的效率会变得很低 。
- O (2ⁿ)：指数时间复杂度：通常出现在递归算法中，问题规模每增加一倍，计算量就呈指数级增长。例如递归解法的斐波那契数列，每次递归调用都会产生两个子调用，随着递归深度的增加，计算量呈指数级爆炸式增长，时间复杂度为 O (2ⁿ)。这种算法在处理较大规模问题时，计算时间会变得极其漫长，往往是不可行的 。
- O (n!)：阶乘时间复杂度：极其低效，通常出现在解决排列问题时。比如旅行商问题的暴力解法，需要考虑所有城市的排列组合，计算量随着城市数量的增加呈阶乘级增长，数据规模的增加会导致执行时间极度膨胀。当城市数量稍微增多，计算时间就会变得无法接受 。
空间复杂度是指算法执行过程中所需要的额外存储空间的量，它衡量了算法对计算机内存的需求，同样使用大 O 符号来表示。在计算空间复杂度时，主要考虑算法在执行过程中动态分配的额外存储空间，如变量、数组、递归栈等，而不包括输入数据本身所占用的空间 。常见的空间复杂度分类如下：
- O (1)：常数空间复杂度：表示无论输入数据的大小如何，算法所需的额外空间都是恒定的。例如排序算法中的原地排序，在排序过程中只使用固定数量的临时变量，不需要额外的存储空间来辅助排序，所以空间复杂度为 O (1)。这就像在一个固定大小的工作台上整理物品，无论物品数量多少，工作台的空间使用量都不会改变 。
- O (n)：线性空间复杂度：表示算法的空间需求与输入数据的大小成正比。例如存储数组或链表，需要为每个元素分配存储空间，元素数量增加一倍，所需的存储空间也增加一倍，空间复杂度为 O (n)。就像建造一排房屋，房屋数量越多，占用的土地空间就越大 。
- O (n²)：平方空间复杂度：表示空间需求与输入数据规模的平方成正比。例如二维数组的存储，一个 n×n 的二维数组，需要占用 n² 个存储单元，空间复杂度为 O (n²)。这类似于建造一个正方形的城市，城市的边长增加一倍，城市的面积就变为原来的四倍 。
- O (log n)：对数空间复杂度：常见于递归算法的递归调用栈。例如快速幂的递归深度，每次递归调用都会在栈中分配一定的空间，而递归深度与 log n 相关，所以空间复杂度为 O (log n)。这就像一个不断分支的树形结构，随着树的深度增加，所需的栈空间也在增加，但增长速度相对较慢 。在设计算法时，通常需要权衡时间复杂度和空间复杂度。有时提高算法的时间效率会增加空间需求，反之亦然。在性能要求高的场景中，可能更注重时间效率，即使需要使用更多的空间。例如在实时数据处理系统中，为了快速响应数据请求，可能会选择时间复杂度较低但空间复杂度较高的算法；在内存受限的情况下，可能更注重减少空间使用，牺牲一些时间效率。例如在嵌入式设备中，由于内存资源有限，可能会优先选择空间复杂度较低的算法，即使它的时间复杂度相对较高 。