广义矩估计错误指定时的一个推导【续5】

定理1 作者的证明

在证明定理1、2和3时，我们使用以下结果。在假设$1,2,4-6$ 和假设A.1-A.6的基础上，依据标准论证(例如，Newey 和 McFadden(1994，第2.1定理)以及 Wooldridge(1994，第7.1定理))得出

$${\hat{\theta }}_T\stackrel{\mathrm{p}}{\to }{\theta }_{\ast }.\text{\hspace{1em}(A.6)}$$

其中 ${\theta }_{\ast }$ 由假设5定义，适用于合适的 $W$ 。

由假设1、4-6、假设A.1-A.9以及式(A.6)可得

$$I_p-H_{0,T}{M}_T\stackrel{\mathrm{p}}{\to }{I}_p+{\left(G_{\ast }^{\prime }W{G}_{\ast }\right)}^{-1}\left({\mu }_{\ast }^{\prime }W\otimes I_p\right)G_{\ast }^{\left(2\right)})={\left(G_{\ast }^{\prime }W{G}_{\ast }\right)}^{-1}{H}_{\ast }.$$

因此，根据假设7，我们有

$${\left(I_p-H_{0,T}{M}_T\right)}^{-1}{H}_{0,T}\stackrel{\mathrm{p}}{\to }-H_{\ast }^{-1}.\text{\hspace{1em}(A.7)}$$

定理1的证明。设$c_T=T^{1/2}$。根据假设1、2、4-5、假设A.1-A.3、A.5-A.6、A.8-A.9、定理的条件以及$W_T=W$，可以得出

$$H_{1,T}+H_{2,T}\left(2\right)+H_{2,T}\left(3\right)=H_{1,T}+H_{2,T}\left(2\right)+{\mathrm{o}}_{\mathrm{p}}\left(1\right)$$

$$\stackrel{\mathrm{d}}{\to }\mathrm{N}\left(0,G_{\ast }^{\prime }W{\Omega }_{11}W{G}_{\ast }+G_{\ast }^{\prime }W{\Omega }_{12}+{\Omega }_{21}W{G}_{\ast }+{\Omega }_{22}\right).$$

(A.8)

因此，所需的结论由(32)和(33)推导而出。

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我们按照作者的证明给出具体的形式

定理1的证明（遵循作者思路）

已知条件：

• $W_T=W$ （固定加权矩阵）
• 假设1-5及假设A.1-A.10成立
• ${\hat{\theta }}_T\stackrel{p}{\to }{\theta }_{\ast }$ (由A.6式)
• $(I_p-H_{0,T}{M}_T{)}^{-1}{H}_{0,T}\stackrel{p}{\to }-H_{\ast }^{-1}$ (由A.7式)

证明步骤：

第1步：利用公式(9)作为起点
从之前推导得到的一般形式公式(9)出发：
cT(θ^T−θ∗)=[Ip−H0,TMT]−1H0,T{H1,T+H2,T(2)+H2,T(3)} c_T (\hat{\theta}_T - \theta_*) = [I_p - H_{0,T} M_T]^{-1} H_{0,T} \{ H_{1,T} + H_{2,T}(2) + H_{2,T}(3) \} cT​(θ^T​−θ∗​)=[Ip​−H0,T​MT​]−1H0,T​{H1,T​+H2,T​(2)+H2,T​(3)}
其中 $c_T=T^{1/2}$。

第2步：应用本定理的特殊条件 ($W_T=W$)
由于 $W_T=W$ 是固定矩阵，因此：
$$W_T-W=0\Rightarrow H_{2,T}(3)=G_{\ast }^{\prime }{c}_T(W_T-W){\mu }_{\ast }=0$$
所以：
$$H_{1,T}+H_{2,T}(2)+H_{2,T}(3)=H_{1,T}+H_{2,T}(2)+o_p(1)$$

第3步：确定 $H_{1,T}+H_{2,T}(2)$ 的渐近分布
由假设A.1-A.10，我们有以下联合渐近正态性：
$$\left[\begin{array}{c}{T}^{-1/2}{\sum }_{t=1}^T(f(v_t,{\theta }_{\ast })-{\mu }_{\ast })\\ T^{1/2}[G_T({\theta }_{\ast })-G_{\ast }{]}^{\prime }W{\mu }_{\ast }\end{array}\right]\stackrel{d}{\to }N\left(0,\left[\begin{array}{cc}{\Omega }_{11}& {\Omega }_{12}\\ {\Omega }_{21}& {\Omega }_{22}\end{array}\right]\right)\text{\hspace{1em}(10)}$$

现在分析 $H_{1,T}+H_{2,T}(2)$：

• $H_{1,T}=G_T({\hat{\theta }}_T{)}^{\prime }W\cdot T^{-1/2}{\sum }_{t=1}^T(f(v_t,{\theta }_{\ast })-{\mu }_{\ast })$
• $H_{2,T}(2)=T^{1/2}[G_T({\theta }_{\ast })-G_{\ast }{]}^{\prime }W{\mu }_{\ast }$

由于 ${\hat{\theta }}_T\stackrel{p}{\to }{\theta }_{\ast }$ 且 $G_T(\cdot )$ 是连续函数，有 $G_T({\hat{\theta }}_T)\stackrel{p}{\to }{G}_{\ast }$。因此：
$$H_{1,T}+H_{2,T}(2)=G_{\ast }^{\prime }W\cdot T^{-1/2}\sum _{t=1}^T(f(v_t,{\theta }_{\ast })-{\mu }_{\ast })+T^{1/2}[G_T({\theta }_{\ast })-G_{\ast }{]}^{\prime }W{\mu }_{\ast }+o_p(1)$$

这可以看作是随机向量 $\left[\begin{array}{c}{U}_T\\ V_T\end{array}\right]$ 的线性变换，其中：

• $U_T=T^{-1/2}{\sum }_{t=1}^T(f(v_t,{\theta }_{\ast })-{\mu }_{\ast })$
• $V_T=T^{1/2}[G_T({\theta }_{\ast })-G_{\ast }{]}^{\prime }W{\mu }_{\ast }$

具体地：
$$H_{1,T}+H_{2,T}(2)=[G_{\ast }^{\prime }W,I_p]\left[\begin{array}{c}{U}_T\\ V_T\end{array}\right]+o_p(1)$$

由联合渐近正态性(10)和连续映射定理，有：
$$H_{1,T}+H_{2,T}(2)\stackrel{d}{\to }N(0,{\Sigma }_H)$$
其中：
$${\Sigma }_H=[G_{\ast }^{\prime }W,I_p]\left[\begin{array}{cc}{\Omega }_{11}& {\Omega }_{12}\\ {\Omega }_{21}& {\Omega }_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}W{G}_{\ast }\\ I_p\end{array}\right]=G_{\ast }^{\prime }W{\Omega }_{11}W{G}_{\ast }+G_{\ast }^{\prime }W{\Omega }_{12}+{\Omega }_{21}W{G}_{\ast }+{\Omega }_{22}$$

这就是文档中的(A.8)式。

第4步：结合所有结果得到最终分布
现在回到公式(9)：
T1/2(θ^T−θ∗)=[Ip−H0,TMT]−1H0,T{H1,T+H2,T(2)}+op(1) T^{1/2} (\hat{\theta}_T - \theta_*) = [I_p - H_{0,T} M_T]^{-1} H_{0,T} \{ H_{1,T} + H_{2,T}(2) \} + o_p(1) T1/2(θ^T​−θ∗​)=[Ip​−H0,T​MT​]−1H0,T​{H1,T​+H2,T​(2)}+op​(1)

我们有：

1. $[I_p-H_{0,T}{M}_T{]}^{-1}{H}_{0,T}\stackrel{p}{\to }-H_{\ast }^{-1}$ (由A.7式)
2. $H_{1,T}+H_{2,T}(2)\stackrel{d}{\to }N(0,{\Sigma }_H)$ (由A.8式)

应用Slutsky定理：
$$T^{1/2}({\hat{\theta }}_T-{\theta }_{\ast })\stackrel{d}{\to }-H_{\ast }^{-1}\cdot Z,\text{其中 }Z\sim N(0,{\Sigma }_H)$$

因此：
$$T^{1/2}({\hat{\theta }}_T-{\theta }_{\ast })\stackrel{d}{\to }N(0,{\Sigma }_1)$$
其中：
$${\Sigma }_1=H_{\ast }^{-1}{\Sigma }_H(H_{\ast }^{-1}{)}^{\prime }=H_{\ast }^{-1}\left(G_{\ast }^{\prime }W{\Omega }_{11}W{G}_{\ast }+G_{\ast }^{\prime }W{\Omega }_{12}+{\Omega }_{21}W{G}_{\ast }+{\Omega }_{22}\right)H_{\ast }^{-1^{\prime }}$$

证毕。

总结

这个证明严格遵循了作者的思路：

1. 从一般形式公式(9)出发
2. 应用本定理的特殊条件 ($W_T=W$) 简化表达式
3. 利用联合渐近正态性(10)确定关键项 $H_{1,T}+H_{2,T}(2)$ 的分布
4. 结合概率极限(A.7)和Slutsky定理得到最终结果

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公式11的来源

在定理1中，当模型正确设定时（即 ${\mu }_{\ast }=0$），渐近方差 ${\Sigma }_1$ 会简化为 Hansen (1982) 的经典公式 ${\Sigma }_C$。

推导公式(11)

从定理1的结论出发，渐近方差为：
$${\Sigma }_1=H_{\ast }^{-1}\left(G_{\ast }^{\prime }W{\Omega }_{11}W{G}_{\ast }+G_{\ast }^{\prime }W{\Omega }_{12}+{\Omega }_{21}W{G}_{\ast }+{\Omega }_{22}\right)H_{\ast }^{-1^{\prime }}$$
其中：

• $H_{\ast }=G_{\ast }^{\prime }W{G}_{\ast }+({\mu }_{\ast }^{\prime }W\otimes I_p)G_{\ast }^{(2)}$（由假设5定义），
• ${\Omega }_{11},{\Omega }_{12},{\Omega }_{21},{\Omega }_{22}$ 是联合渐近分布（公式(10)）的协方差矩阵元素。

当模型正确设定时，有 ${\mu }_{\ast }=0$，因此：

1. 简化 $H_{\ast }$：由于 ${\mu }_{\ast }=0$，有 $({\mu }_{\ast }^{\prime }W\otimes I_p)G_{\ast }^{(2)}=0$，所以 $H_{\ast }=G_{\ast }^{\prime }W{G}_{\ast }$。从而，$H_{\ast }^{-1}=(G_{\ast }^{\prime }W{G}_{\ast }{)}^{-1}$ 和 $H_{\ast }^{-1^{\prime }}=(G_{\ast }^{\prime }W{G}_{\ast }{)}^{-1}$（因为 $G_{\ast }^{\prime }W{G}_{\ast }$ 是对称矩阵）。
2. 简化协方差项：联合渐近分布（公式(10)）的第二项为 $T^{1/2}[G_T({\theta }_{\ast })-G_{\ast }{]}^{\prime }W{\mu }_{\ast }$。当 ${\mu }_{\ast }=0$ 时，这一项为零向量。因此：
   • ${\Omega }_{12}=0$（第一项与第二项的协方差），
   • ${\Omega }_{21}=0$（第二项与第一项的协方差），
   • ${\Omega }_{22}=0$（第二项的方差）。
     只有 ${\Omega }_{11}$ 保留，它是 $T^{-1/2}{\sum }_{t=1}^{T}f(v_t,{\theta }_{\ast })$ 的渐近方差。在正确设定下，${\mu }_{\ast }=0$，所以 ${\Omega }_{11}=V$，其中 $V$ 是矩条件 $f(v_t,{\theta }_{\ast })$ 的长期方差矩阵：
     $$V=\underset{T\to \infty }{\lim }\mathrm{Var}\left(T^{-1/2}\sum _{t=1}^{T}f(v_t,{\theta }_{\ast })\right)$$
3. 代入简化：将上述结果代入 ${\Sigma }_1$：
   $${\Sigma }_1=(G_{\ast }^{\prime }W{G}_{\ast }{)}^{-1}\left(G_{\ast }^{\prime }WVW{G}_{\ast }+0+0+0\right)(G_{\ast }^{\prime }W{G}_{\ast }{)}^{-1}$$
   因此：
   $${\Sigma }_C=(G_{\ast }^{\prime }W{G}_{\ast }{)}^{-1}(G_{\ast }^{\prime }WVW{G}_{\ast })(G_{\ast }^{\prime }W{G}_{\ast }{)}^{-1}$$
   这就是公式(11)。

说明

• 这个结果与 Hansen (1982) 的原始公式一致，适用于正确设定的模型。
• 当 $W_T=I$ 时，定理1仍然成立，但 $W$ 是单位矩阵，因此 ${\Sigma }_C$ 进一步简化。
• Gallant and White (1988) 的结果与定理1在固定加权矩阵条件下一致，但他们的分析侧重于正确设定模型，而定理1涵盖了误设模型的一般情况。

此推导展示了定理1如何作为正确设定模型下经典结果的一般化。