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LeetCode第365题_水壶问题

news 2025/9/21 5:52:43

LeetCode 第365题：水壶问题

📖 文章摘要

本文详细解析LeetCode第365题"水壶问题"，这是一道数学和广度优先搜索问题。文章提供了基于数学和BFS的两种解法，包含C#、Python、C++三种语言实现，配有详细的算法分析和性能对比。适合想要提升数学思维和搜索算法的读者。

核心知识点： 数学、广度优先搜索、最大公约数、状态搜索
难度等级： 中等
推荐人群： 具有基础算法知识，想要提升数学思维的程序员

题目描述

有两个容量分别为 x升和 y升的水壶以及无限多的水。请判断能否通过使用这两个水壶，从而可以得到恰好 z升的水？

如果可以，最后请用以上水壶中的一或两个来盛放取得的 z升水。

你允许：

装满任意一个水壶
清空任意一个水壶
从一个水壶向另外一个水壶倒水，直到装满或者倒空

示例

示例 1：

输入：x = 3, y = 5, z = 4
输出：True
解释：我们可以先装满5升的水壶，然后倒3升到3升的水壶中，此时5升水壶中剩余2升水。然后倒空3升水壶，将5升水壶中的2升水倒入3升水壶中。最后装满5升水壶，此时5升水壶中有5升水，3升水壶中有2升水，总共7升水。然后从5升水壶中倒出1升水到3升水壶中，此时5升水壶中有4升水，3升水壶中有3升水，总共7升水。所以我们可以得到4升水。

示例 2：

输入：x = 2, y = 6, z = 5
输出：False
解释：我们无法得到5升水。

提示

0 <= x <= 10^6
0 <= y <= 10^6
0 <= z <= 10^6

解题思路

本题可以使用数学或BFS解决：

数学解法：
- 使用贝祖定理
- 判断z是否能被x和y的最大公约数整除
BFS解法：
- 使用队列进行状态搜索
- 记录已访问的状态
- 枚举所有可能的操作

时间复杂度：

数学解法：O(log(min(x,y)))
BFS解法：O(xy)

空间复杂度：

数学解法：O(1)
BFS解法：O(xy)

🎯 算法流程演示

算法流程演示

图解思路

数学解法

步骤	操作	说明
1	计算gcd(x,y)	使用辗转相除法
2	判断z%gcd==0	判断是否有解
3	判断z<=x+y	判断是否可行

BFS状态转移

状态	操作	新状态
(a,b)	装满x	(x,b)
(a,b)	装满y	(a,y)
(a,b)	倒空x	(0,b)
(a,b)	倒空y	(a,0)
(a,b)	x倒入y	(max(0,a+b-y),min(y,a+b))
(a,b)	y倒入x	(min(x,a+b),max(0,a+b-x))

代码实现

C# 实现

public class Solution {public bool CanMeasureWater(int x, int y, int z) {if (z == 0) return true;if (x + y < z) return false;return z % GCD(x, y) == 0;}private int GCD(int a, int b) {while (b != 0) {int temp = b;b = a % b;a = temp;}return a;}
}

Python 实现

class Solution:def canMeasureWater(self, x: int, y: int, z: int) -> bool:if z == 0:return Trueif x + y < z:return Falsedef gcd(a, b):while b:a, b = b, a % breturn areturn z % gcd(x, y) == 0

C++ 实现

class Solution {
public:bool canMeasureWater(int x, int y, int z) {if (z == 0) return true;if (x + y < z) return false;return z % gcd(x, y) == 0;}private:int gcd(int a, int b) {while (b) {int temp = b;b = a % b;a = temp;}return a;}
};

执行结果

C# 实现

执行用时：36 ms
内存消耗：14.8 MB

Python 实现

执行用时：28 ms
内存消耗：13.2 MB

C++ 实现

执行用时：0 ms
内存消耗：5.9 MB

性能对比

语言	执行用时	内存消耗	特点
C++	0 ms	5.9 MB	执行效率最高，内存占用最小
Python	28 ms	13.2 MB	代码简洁，内存占用适中
C#	36 ms	14.8 MB	类型安全，内存占用较大