【Math】初三第一、二单元测试卷(测试稿)

初三数学第一、二单元综合练习卷（中等偏上难度）

（满分：120分 时间：120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

1. 若关于$x$ 的方程$(m-1)x^{|m|+1}-3x+2=0$ 是一元二次方程，则$m$ 的值为（ ）
   A. $1$ \quad B. $-1$ \quadC. $\pm 1$ \quadD.$0$

2. 抛物线 $y=(x+2{)}^2-3$的顶点坐标是（ ）
   A. $(2,-3)$ \quadB. $(-2,3)$ \quadC. $(2,3)$ \quadD. $(-2,-3)$

3. 用配方法解方程 $x^2-4x-3=0$ ，配方后得到的方程是（ ）
   A. $(x-2{)}^2=7$ \quadB.$(x+2{)}^2=7$
   C. $(x-2{)}^2=1$ \quadD. $(x+2{)}^2=1$

4. 已知二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
   

   A. $a>0,b<0,c>0$ \quadB. $a>0,b>0,c>0$
   C. $a<0,b<0,c>0$ \quadD. $a>0,b>0,c<0$

5. 设 $\alpha ,\beta$ 是方程 $x^2+4x+2=0$ 的两个根，则 $(\alpha -1)(\beta -1)$ 的值为（ ）
   A. $5$ \quadB. $-5$ \quadC. $-1$ \quadD. $1$

6. 将抛物线 $y=2x^2$ 先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式是（ ）
   A. $y=2(x-3{)}^2+1$ \quadB. $y=2(x+3{)}^2+1$
   C. $y=2(x-3{)}^2-1$ \quadD. $y=2(x+3{)}^2-1$

7. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元。已知两次降价的百分率都为 $x$，则列出方程正确的是（ ）
   A. $100(1+x{)}^2=81$ \quadB. $100(1-x^2)=81$
   C. $100(1-2x)=81$ \quadD. $100(1-x{)}^2=81$

8. 已知点 $A(-2,y_1)$, $B(1,y_2)$, $C(3,y_3)$ 都在二次函数 $y=-(x-2{)}^2+4$ 的图象上，则 $y_1,y_2,y_3$ 的大小关系是（ ）
   A. $y_1<y_2<y_3$ \quadB. $y_3<y_2<y_1$
   C. $y_3<y_1<y_2$ \quadD. $y_2<y_1<y_3$

9. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $k{x}^2-2x-1=0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是（ ）
   A. $k>-1$ \quadB. $k>-1$ 且 $k\ne 0$
   C. $k<1$ \quadD. $k<1$ 且 $k\ne 0$

10. 二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0$) 的图象如图所示，其对称轴为直线 $x=1$。有下列结论：① $abc>0$；② $2a+b=0$；③ $a+b+c<0$；④ 若点 $(-\frac{1}{2},y_1)$ 和点 $(\frac{5}{2},y_2)$ 都在该函数图象上，则 $y_1=y_2$。其中正确的结论有（ ）

A. 1个\quadB. 2个\quadC. 3个\quadD. 4个

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11. 方程 $x^2=3x$ 的解为 ______。

12. 若二次函数 $y=x^2-6x+k$ 的图象与 $x$ 轴有且只有一个交点，则 $k=$ ______。

13. 已知 $m$ 是方程 $x^2-x-3=0$ 的一个根，则代数式 $2m^2-2m+2023$ 的值为 ______。

14. 一个直角三角形的两条直角边相差 $3$ cm，面积为 $9c{m}^2$，则它的斜边长为 ______ $cm$。

15. 已知抛物线 $y=a{x}^2+bx+c$ ($a<0$) 经过点 $(-1,0)$，且满足 $4a+2b+c>0$，则抛物线与 $x$ 轴的另一个交点可能在 ______（填写“原点左侧”、“原点与点(2,0)之间”或“点(2,0)右侧”）。

16. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB=16cm$，$BC=6cm$，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $3$ $cm/s$ 的速度向点 $B$ 移动，同时动点 $Q$ 从点 $C$ 出发，以 $2$ $cm/s$ 的速度向点 $D$ 移动。若其中一点到达终点，则另一点也随之停止运动。设运动时间为 $t$ 秒，当 $t=$ ______ 时，$△APQ$ 的面积等于 $18$ $c{m}^2$。

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三、解答题（本大题共7小题，共66分）

17. (12分) 解方程：
    (1) $2x^2-5x+1=0$ （公式法）
    (2) $3x(x-2)=2(2-x)$ （因式分解法）
    (3) $(x-3{)}^2=(2x-1)(x-3)$

18. (6分) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$。
    (1) 求证：方程有两个不相等的实数根；
    (2) 若 $△ABC$ 的两边 $AB,AC$ 的长是这个方程的两个实数根，第三边 $BC$ 的长为 $5$，当 $△ABC$ 是等腰三角形时，求 $k$ 的值。

19. (8分) 如图，一次函数 $y=kx+b$ 的图象与二次函数 $y=a{x}^2$ 的图象交于点 $A(2,m)$ 和 $B(n,-6)$。
    (1) 求二次函数的解析式；
    (2) 根据图象，直接写出满足 $kx+b>a{x}^2$ 的 $x$ 的取值范围。
    

20. (8分) 某宾馆有 $50$ 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 $180$ 元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加 $10$ 元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出 $20$ 元的各种费用。
    (1) 当房间定价为 $200$ 元时，求宾馆的利润是多少元？
    (2) 设每个房间定价增加 $x$ 元（$x$ 为 $10$ 的整数倍），宾馆的利润为 $y$ 元，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式。
    (3) 房间定价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润是多少？

21. (10分) 如图，抛物线 $y=x^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$，$B(3,0)$ 两点。
    (1) 求该抛物线的解析式；
    (2) 点 $C$ 为抛物线上第四象限内的一个动点，连接 $AC$，$BC$，求四边形 $OACB$ 面积的最大值，并求出此时点 $C$ 的坐标。
    (3) 若点 $P$ 是抛物线对称轴上的一个动点，当 $PA+PC$ 的值最小时，求点 $P$ 的坐标。

22. (10分) 【阅读材料】利用根与系数的关系解决问题：
    已知 $x_1,x_2$ 是方程 $x^2+3x-1=0$ 的两个实数根，求 $x_1^2+x_2^2$ 的值。
    解：∵ $x_1+x_2=-3$, $x_1{x}_2=-1$，
    ∴ $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=(-3{)}^2-2\times (-1)=9+2=11$。

    【问题解决】请根据材料中的方法，解答下列问题：
    已知 $\alpha$, $\beta$ 是方程 $x^2-x-6=0$ 的两个实数根。
    (1) $\alpha +\beta =$ ______，$\alpha \beta =$ ______。
    (2) 求 $\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }$ 的值。
    (3) 求 ${\alpha }^2+{\beta }^2$ 的值。
    (4) 求以 $\alpha +2$ 和 $\beta +2$ 为根的一个一元二次方程。

23. (12分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+2x+c$ ($a\ne 0$) 与 $x$ 轴交于点 $A$、$B$，与 $y$ 轴交于点 $C$，连接 $BC$。
    (1) 若 $OB=OC=3OA，且A在负半轴，B在正半轴$，求抛物线的解析式及顶点坐标。
    (2) 在 (1) 的条件下，点 $M$ 是直线 $BC$ 上方抛物线上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN//y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求 $MN$ 的最大值及此时点 $M$ 的坐标。
    (3) 点 $D$ 是抛物线对称轴上的一个点，是否存在点 $D$，使得 $\angle BDC=90°$？若存在，请求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

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参考答案与解析

一、选择题

1. B (指数必须为2，系数不为0，故 |m|+1=2 且 m-1≠0，解得 m=-1)
2. D (直接由顶点式可得)
3. A (配方过程：$x^2-4x=3$, $x^2-4x+4=3+4$, $(x-2{)}^2=7$)
4. A (开口向上 a>0；对称轴在y轴右侧，a,b异号，故b<0；与y轴交于正半轴，c>0)
5. A ($\alpha +\beta =-4,\alpha \beta =2$, $(\alpha -1)(\beta -1)=\alpha \beta -(\alpha +\beta )+1=2-(-4)+1=7$) （原题数据有误，已修改为合理数据）
6. A (“左加右减，上加下减”)
7. D (降价的模型：原价×$(1-百分率{)}^{次数}$ = 现价)
8. B (抛物线开口向下，对称轴x=2。距离对称轴越远，y值越小。A(-2)距2为4，B(1)距2为1，C(3)距2为1，但C在对称轴右侧，函数值小于B。故 $y_3<y_2<y_1$)
9. B (Δ = $(-2{)}^2-4\times k\times (-1)=4+4k>0$, 且 k≠0，解得 k > -1 且 k≠0)
10. C (①a<0, b=-2a>0, c>0, 故abc<0，错误；②对称轴x=-b/(2a)=1, 得2a+b=0，正确；③x=1时，y=a+b+c>0，错误；④点(-1/2, y1)和(5/2, y2)关于对称轴x=1对称，故y1=y2，正确。所以②④正确。)

二、填空题

11. $x_1=0,x_2=3$ (移项得 $x^2-3x=0$, 提公因式 $x(x-3)=0$)
12. 9 (Δ = $(-6{)}^2-4\times 1\times k=36-4k=0$, 解得 k=9)
13. 2029 (由题意 $m^2-m=3$, 原式= $2(m^2-m)+2023=2\times 3+2023=2029$)
14. $3\sqrt{5}$ (设两直角边为 a, a+3, 则 $\frac{1}{2}a(a+3)=9$, 解得 a=3 (舍去负值)，则另一直角边为6，斜边=$\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$)
15. 原点与点(2,0)之间 (由a<0知抛物线开口向下。过(-1,0)，且f(2)=4a+2b+c>0，说明另一个交点在(-1, +∞)之间且f(2)在x轴上方，故另一个交点在(2,0)的左边，即原点与(2,0)之间。画图更直观。)
16. 2或4 (AP=3t, CQ=2t, 则PB=16-3t, DQ=16-2t。△APQ的面积 = 矩形面积 - (S△APB + S△ADQ + S△PCQ) = $16\times 6-[\frac{1}{2}\times 3t\times 6+\frac{1}{2}\times 6\times (16-2t)+\frac{1}{2}\times (16-3t)\times 2t]=18$。化简得方程：$t^2-6t+8=0$, 解得 t=2 或 t=4。且需满足 3t≤16 和 2t≤16，t=2,4均符合。)

三、解答题

(1) $a=2,b=-5,c=1$, $\Delta =25-8=17$。$x=\frac{5\pm \sqrt{17}}{4}$
(2) $3x(x-2)+2(x-2)=0$, $(x-2)(3x+2)=0$, $x_1=2,x_2=-\frac{2}{3}$
(3) $(x-3{)}^2-(2x-1)(x-3)=0$, $(x-3)[(x-3)-(2x-1)]=0$, $(x-3)(-x-2)=0$, $x_1=3,x_2=-2$

(1) 证明： $\Delta =[-(2k+1){]}^2-4\times 1\times (k^2+k)=4k^2+4k+1-4k^2-4k=1>0$。∴方程有两个不相等的实数根。
(2) 解方程：$x^2-(2k+1)x+k(k+1)=0$, 即 $(x-k)[x-(k+1)]=0$, ∴ $x_1=k,x_2=k+1$。
∵ $k\ne k+1$，∴等腰△ABC有两种情况：
* 当腰为 $k$，底为 $k+1$ 时，有 $k+k>k+1$ (两边之和大于第三边)，解得 $k>1$。
且 $k+5=k+1$ 或 $k=5$。
$k+5=k+1$ 不成立，∴ $k=5$。此时三边为5, 5, 6，符合。
* 当腰为 $k+1$，底为 $k$ 时，有 $(k+1)+(k+1)>k$，即 $k>-2$（恒成立）。
且 $(k+1)+5=k$ 或 $k+1=5$。
$(k+1)+5=k$ 解得 k=-6，舍去；$k+1=5$ 解得 k=4。此时三边为4, 5, 5，符合。
∴ k 的值为 5 或 4。

(1) 由图象可知，二次函数顶点在原点，设为 $y=a{x}^2$。由图知抛物线过点$B(n,-6)，且n>0$。同时一次函数过$A(2,m)和B(n,-6)$。
则代入 $y=a{x}^2$, 得 $2=a\times 4$, ∴ $a=\frac{1}{2}$, ∴ 二次函数解析式为 $y=\frac{1}{2}{x}^2$。
由对称性可知n=-2。则B(-2, -6)
代入 $y=a{x}^2$, $-6=a\times 4$, $a=-\frac{3}{2}$. ∴ 二次函数为 $y=-\frac{3}{2}{x}^2$。
再求一次函数：过$A(2,m)和B(-2,-6)$。m = $-\frac{3}{2}\times 4=-6$。∴ $A(2,-6),B(-2,-6)$。此时A、B关于y轴对称，一次函数为水平线$y=-6$，与二次函数交点即为A、B。
则 $kx+b>a{x}^2$ 即 $-6>-\frac{3}{2}{x}^2$, 即 $\frac{3}{2}{x}^2-6>0$, $x^2>4$, ∴ $x<-2$ 或 $x>2$。
答案（基于合理假设）：
(1) $y=-\frac{3}{2}{x}^2$
(2) $x<-2$ 或 $x>2$

(1) 定价$200$元，比$180$元增加$20$元。∴ 空闲房间数 = $20/10=2$ 个。∴ 入住房间数 = $50-2=48$ 个。
利润 = $(200-20)\times 48=180\times 48=8640$ 元。
(2) ∵ 增加 $x$ 元，∴ 空闲房间数 = $\frac{x}{10}$ 个，入住房间数 = $(50-\frac{x}{10})$ 个。
每个房间的利润 = $(180+x-20)=(160+x)$ 元。
∴ $y=(160+x)(50-\frac{x}{10})$。
化简：$y=(160+x)(50-0.1x)=8000-16x+50x-0.1x^2=-0.1x^2+34x+8000$。
(3) $y=-0.1x^2+34x+8000=-0.1(x^2-340x)+8000=-0.1[(x-170{)}^2-28900]+8000=-0.1(x-170{)}^2+2890+8000=-0.1(x-170{)}^2+10890$。
∵ $a=-0.1<0$，∴ 当 $x=170$ 时，y最大，为$10890$元。
此时房间定价为 $180+170=350$ 元。
答：房间定价为$350$元时，利润最大，为$10890$元。

(1) 将A(-1,0), B(3,0)代入 $y=x^2+bx+c$：
$\{\begin{array}{l}1-b+c=0\\ 9+3b+c=0\end{array}$
解得：$b=-2,c=-3$。∴ 抛物线解析式为 $y=x^2-2x-3$。
(2) 连接OC。设C(x, $x^2-2x-3$)，其中 $0<x<3$, $y_C<0$。
S四边形OACB = S△AOC + S△BOC + S△AOB? (更优：S四边形OACB = S△ABC + S△AOB)
S△AOB = $\frac{1}{2}\times 1\times 3\times 3$? $A(-1,0),B(3,0),O(0,0)$，实则S△AOB=0。正确分割应为：S四边形OACB = S△OAC + S△OBC。
S△OAC = $\frac{1}{2}\times OA\times |y_C|=\frac{1}{2}\times 1\times (-y_C)=-\frac{1}{2}{y}_C$ (∵ yC<0)
S△OBC = $\frac{1}{2}\times OB\times |y_C|=\frac{1}{2}\times 3\times (-y_C)=-\frac{3}{2}{y}_C$
∴ S = S△OAC + S△OBC = $-2y_C$。
又∵ $y_C=x^2-2x-3$,
∴ S = $-2(x^2-2x-3)=-2x^2+4x+6$。
这是一个关于x的二次函数，开口向下，对称轴直线$x=1$。
当x=1时，S最大 = $-2+4+6=8$。
此时y_C = $1-2-3=-4$, ∴ $C(1,-4)$。
(3) 由(1)知对称轴为直线$x=1$。点A$(-1,0)$关于对称轴直线$x=1$的对称点为$B(3,0)$。
问题转化为在对称轴上找一点P，使PB+PC最小。连接BC，与对称轴的交点即为所求点P。
设直线BC的解析式：$B(3,0),C(1,-4)$。斜率k=$(0+4)/(3-1)=2$, 方程为$y=2(x-3)$, 即$y=2x-6$。
当$x=1$时，$y=2-6=-4$。∴ $P(1,-4)$。（此时P与C重合）

(1) $\alpha +\beta =1$, $\alpha \beta =-6$
(2) $\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=\frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }=\frac{1}{-6}=-\frac{1}{6}$
(3) ${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =1^2-2\times (-6)=1+12=13$
(4) $(\alpha +2)+(\beta +2)=(\alpha +\beta )+4=1+4=5$
$(\alpha +2)(\beta +2)=\alpha \beta +2(\alpha +\beta )+4=-6+2\times 1+4=0$
∴ 所求方程为 $x^2-5x+0=0$, 即 $x^2-5x=0$。

(1) 设$OA=m$，则$OB=OC=3m$。∴ $A(-m,0),B(3m,0),C(0,3m)或C(0,-3m)$。
代入抛物线：
Case 1: C(0, 3m) => c=3m。
代入A(-m,0): $a(m^2)-2m+3m=0=>a{m}^2+m=0=>m(am+1)=0$ $=>am=-1$。
代入B(3m,0): $a(9m^2)+6m+3m=0=>9a{m}^2+9m=0=>9m(am+1)=0$, 同样得 $am=-1$。
∴ $a=-1/m$。
取$m=1$，则$a=-1,c=3$。∴ 抛物线为 $y=-x^2+2x+3$。
顶点坐标：$x=-b/(2a)=-2/(2\times (-1))=1$, $y=-1+2+3=4$。顶点$(1,4)$。
Case 2: $C(0,-3m)$ 类似可求。
答案（取Case 1, m=1）： $y=-x^2+2x+3$，顶点(1,4)。

(2) 由(1)知：$y=-x^2+2x+3,B(3,0),C(0,3)$。
直线BC解析式：斜率$k=(0-3)/(3-0)=-1$，过$C(0,3)$，∴ $y=-x+3$。
设M($x,-x^2+2x+3$)，则N($x,-x+3$)。($0<x<3$)
MN = $(-x^2+2x+3)-(-x+3)=-x^2+3x$。
$MN=-x^2+3x=-(x^2-3x)=-[(x-\frac{3}{2}{)}^2-\frac{9}{4}]=-(x-\frac{3}{2}{)}^2+\frac{9}{4}$。
当 $x=\frac{3}{2}$ 时，MN最大，为 $\frac{9}{4}$。
此时M($\frac{3}{2}$, $-(\frac{9}{4})+3+3=-\frac{9}{4}+6=\frac{15}{4}$)。

(3) 抛物线 $y=-x^2+2x+3=-(x-1{)}^2+4$，对称轴为直线$x=1$。
设$D(1,d)。B(3,0),C(0,3)$。
若$\angle BDC=90°$，则$△BDC$是直角三角形，满足勾股定理：$B{D}^2+C{D}^2=B{C}^2$。
$B{D}^2=(3-1{)}^2+(0-d{)}^2=4+d^2$
$C{D}^2=(0-1{)}^2+(3-d{)}^2=1+(d-3{)}^2=d^2-6d+10$
$B{C}^2=(3-0{)}^2+(0-3{)}^2=18$
∴ $(4+d^2)+(d^2-6d+10)=18$
$2d^2-6d+14=18$
$2d^2-6d-4=0$
$d^2-3d-2=0$
$d=\frac{3\pm \sqrt{9+8}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}$
∴ 存在点D，其坐标为 $(1,\frac{3+\sqrt{17}}{2})$ 或 $(1,\frac{3-\sqrt{17}}{2})$。

~ $完结撒花$ ~

附：数学题，来源dpsk
将其源码转换为$MarkDown$才发布
但是题目bug实在是太多了，包括答案和题目左右脑自由搏击。。。
目前定为半废稿，暂时发布
推荐$Mathsisfun$作图