卡尔曼Kalman滤波|基础学习（二）

【1】引言

前序学习进程中，已经了解了状态方程的基本概念。
第一部分是状态转移方程：
$$y_{k+1}=A_k{y}_k+B_k{u}_k+{\Gamma }_k{\xi }_k$$
$y_k$是$k$时刻的系统状态量；
$A_k$是状态转移矩阵，体现了状态自身随时间的变化规律；
$B_k$与确定性输入$u_k$结合，描述外界已知控制输入对系统状态的影响；
${\Gamma }_k{\xi }_k$表示系统过程噪声，${\Gamma }_k$是噪声作用矩阵，${\xi }_k$是噪声向量，它们一起体现了系统内外不可控的随机干扰。
第二部分是观测方程：
$$w_k=C_k{y}_k+d_k{u}_k+{\eta }_k$$
$w_k$是观测矩阵，体现了系统状态到观测值的映射关系；
$D_k$与确定性输入$u_k$结合，描述已知控制输入对观测值的影响；
${\eta }_k$是观测噪声，体现观测过程的随机干扰。
更具体一些，${\xi }_k$是系统固有的内部噪声，无论是否测量，这个噪声总是会存在；${\eta }_k$是测量过程产生的噪声，只有测量的时候才会被发现和捕捉到。

【2】公式转化

如果：$$y_k=z_k+x_k$$
来转化一下两个状态方程。
第一部分，状态转移方程：
$$\begin{gathered} y_{k+1}=A_k{y}_k+B_k{u}_k+{\Gamma }_k{\xi }_k \\ =A_k(z_k+x_k)+B_k{u}_k+{\Gamma }_k{\xi }_k \end{gathered}$$
第二部分,观测方程：
$$\begin{gathered} w_k=C_k{y}_k+d_k{u}_k+{\eta }_k \\ =C_k(z_k+x_k)+d_k{u}_k+{\eta }_k \end{gathered}$$
令：
$$z_{k+1}=A_k{z}_k+B_k{u}_k$$
$$s_k=C_k{z}_k+d_k{u}_k$$

此时就会获得另外两个式子：
$$x_{k+1}=A_k{x}_k+{\Gamma }_k{\xi }_k$$
$$v_k=C_k{x}_k+d_k{u}_k$$
这里$z_k$代表线性确定系统的解，根据上述对$z_{k+1}$的计算可看到$z_{k+1}$只和系数$A_k/B_k$有关，所以$z_{k+1}$是个确定值，同时$s_k$也是确定值。
同时$x_{k+1}$就显得非常复杂，因为${\xi }_k$这个系统固有噪声被引入了，所以$x_{k+1}$是个不确定值；因为这一层关系，$v_k$也成了不确定值。
所以这次分解获得的$z_{k+1}$和$s_k$是确定值，$x_{k+1}$和$v_k$是不确定值。

【3】总结

初步将卡尔曼滤波的状态方程转换为确定方程和随机方程。