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COI实验室技能：基于几何光学的物空间与像空间的映射关系

news 2025/9/19 7:51:12

COI实验室技能：基于几何光学的物空间与像空间的映射关系

已知物空间中某点的光强密度 $I_s$ ，求解由该点引起的像空间中任意位置处的光强密度 $I_s'$ 。在雾天天气条件下，可以认为空间中任意位置都是一个发光点，那么就需要这种成像模型。

认为存在的问题：
● 对于漫反射物体表面而言，不具有解析的复振幅，难以通过角谱传播和菲涅尔衍射等方法进行建模；
● 傅里叶光学教材中只给除了物像关系的解析式，没给出其余任意两个点位置的响应；

目的：
● 为了建立光路中存在体散射介质的成像模型，即求解出相机传感器平面的光强分布；

1. 自然场景的光学特性

在真实自然场景中实现的透过散射介质成像，其成像目标常常是道路、车辆、房屋、树林、山地、水底沉降物等不发光、漫反射的物体。因此分析自然场景的光学特性有助于建立合适的成像模型。然而，在前人起初的基于深度学习的散射成像工作中，研究人员往往采用空间光调制器作为实验目标，而这种目标要么是透射的，要么是反射的，其光学特性与真实物体不一致，使得网络模型难以对真实物体进行散射成像。下面将分析这两种目标物的光学特性。
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图1 自然物体与SLM的光学特性示意图漫反射物体和透射型物体(same as specular reflection)有着不同的光学特性。如图1所示，(a)和(b)分别表示漫反射和透射的光强密度扩散示意图。一方面，对于漫反射物体而言，当一束光照射到其表面时，我们可以从各个角度都看到这个点发出的光。物体表面反射光的扩散波形与其具体粗糙度和颗粒分布有关，为了便于分析，我们近似采用球面波来表征漫反射物体表面光能量的扩散规律。另一方面，采用空间光调制器作为实验目标，相当于是一个透射型(或反射型)物体，光照射到它们表面时，后续的光依然具有很强的方向性，其波面扩散形式与衍射有关，如果空间光调制器是大尺度的物体(如手写数字体)，那么后续光基本上是平行传输的。下面分别建立这两种物体的光学模型。
假设物体表面单位距离处的光强能量密度为

I_s

(

{单位lux}/m^2

) ，那么对漫反射物体来说，随着光的传播，其扩散波形的表面积呈平方关系增长，即光强密度呈平方关系衰减，因此离源点距离为

d

处的光强密度变为：

I_s'={I_s}/{d^2}

。而对于空间光调制来说，其扩散波形由衍射规律所决定，对于物体特征尺寸越大的物体，其衍射效应越小，扩散波形依然近似平面传播，因此它的光强密度我们近似为：

Is′≈IsI_s'\approx{I_s}

2. 任意物空间一点和在像空间任意位置的点扩散函数

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图2 成像系统光路模型图中，$(x_o,y_o)、(x_p,y_p)、(x_c,y_c)、(x_i,y_i)$分别表示物平面、光瞳平面、传感器平面和像平面的坐标；$z_o、z_c、z_i$分别表示物平面、传感器平面和像平面到光瞳平面的距离。如图所示，假设在右侧物空间中有一任意位置的发光点$I_o(x_o,y_o,z_o)${表示单位距离单位面积的光强}，其能量呈球面波发散，到达成像系统后被光瞳截取有限区域，而后被传感器探测到光强$I_c(x_c,y_c,z_c)$；如果相机传感器没有位于像面，或者物面不在的传感器的共轭面上，那么传感器底面将呈现为一个较大的弥散斑。下面将推导对于任意一点$I_o$，其在传感器底面的点扩散函数。光的传播过程可以看成两个阶段，第一阶段是发光点以球面波扩散到光瞳平面，第二阶段是进入光学系统的光往像平面汇聚，而最终由位于$z_c$处的传感器所探测。 **第一阶段：物点到光瞳平面的响应：** 由第一节的自然场景发光特性可知，随着光源的扩散，波面的能量密度与距离呈平方关系衰减，因此任意一点$I_o$到达光瞳表面时的光强分布为： $$I_p(x_p,y_p) = \frac{I_o(x_o,y_o)}{(x_p-x_o)^2+(y_p-x_o)^2+z_o^2}{\cdot}{circle}(x_p,y_p,r_p)$$ 其中$circle$函数表示光瞳的有限大小： $$circle({{x}_{p}},{{y}_{p}},{{r}_{p}})= \begin{cases} 1 & x_{p}^{2}+y_{p}^{2}

第二阶段：从光瞳抵达相机传感面的光强响应
从第一阶段的结果我们已经求得光瞳平面上任意一点的光强能量密度，经过成像系统后，波面呈现汇聚特性，在这里插入图片描述

图2 成像系统光路模型

可以求得传感器平面上的光强分布(点扩散函数)为：
$hc(xo,yo,xc,yc)=Ip(xp,yp)⋅(xp−xi)2+(yp−yi)2+zi2(xc−xi)2+(yc−yi)2+(zi−zc)2……(2)h_c(x_o,y_o,x_c,y_c)=I_p(x_p,y_p){\cdot}\frac{(x_p-x_i)^2+(y_p-y_i)^2+z_i^2}{(x_c-x_i)^2+(y_c-y_i)^2+(z_i-z_c)^2}……(2)$ 由物像关系和三角形相似定理可得：
${xi=−xozczo−zcyi=−yozczo−zczi=zczozo−zc{xp=(xc−xi)⋅zczo−zc+xiyp=(yc−yi)⋅zczo−zc+yi\begin{cases} x_i = -x_o\frac{z_c}{z_o-z_c} \\ y_i = -y_o\frac{z_c}{z_o-z_c} \\ z_i = \frac{z_cz_o}{z_o-z_c} \end{cases} \\ \begin{cases} x_p = (x_c-x_i){\cdot}\frac{z_c}{z_o-z_c}+x_i \\ y_p = (y_c-y_i){\cdot}\frac{z_c}{z_o-z_c}+y_i \end{cases}$ 由此，我们得到了仅和物点坐标、相机传感器距离相关的点扩散函数，即已知物空间中任意一点的光强，那么其在像空间中任意一个平面的光强分布由该点扩散函数所决定。
很显然，该点扩散函数表征的系统并不是一个线性空不变系统，而是由物像空间位置和成像系统参数共同决定。
数值仿真：
将常用实验系统的参数代入模型中，利用控制变量法，查看每个参量的变化对相机底面光强分布的影响。
①固定物空间中一点，变换相机底面到光瞳的距离
仿真参数： $f=50mm, r_p=25.4mm, x_0=10mm,y_o=30mm,z_o=200mm,$
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图4 相机底面光强与像距的关系

从仿真结果可以看出，点扩散函数反映了真实的光强变化规律，当相机底面从透镜处逐渐远离时，光斑从大到小，到聚焦面，再到倒立成像后逐渐变大。
②固定相机底面，变换物点到成像系统的距离
在这里插入图片描述图5 相机底面光强与物距的关系
从图5的前两张可以看出，因为点扩散函数是带符号推导出来的，所以即使 $z_o$ 小于焦距，该模型依然适用，此时光斑在成像系统后呈扩散传播。

反映的信息：
一个物点的点扩散函数并不是简单的均匀分布，而是呈现球面截面光强变化。
③固定相机底面，变换物点在X轴上的距离
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3. 体发光物体在相机传感器的光强分布模型

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图2 成像系统光路模型该模型为一个三重积分模型：

$Ic(xc,yc)=Se∭VIo(xo,yo,zo)h(xo,yo,xc,yc)dxodyodzoI_c(x_c,y_c)=S_e\iiint_V {{I_o}({x_o},{y_o},{z_o})h({x_o},{y_o},{x_c},{y_c})}d{x_o}d{y_o}d{z_o}$ 其中 $S_e$ 表示一个像元的面积。