排序不等式的推广，对于任意两个数列的推广

设有函数f(x),g(x),  存在两个递增序列

{f(x1)，f(x2),  f(x3) .....  , f(xn)}

{g(x1), g(x2), g(x3), .....,g(xn)}

x1，x2，xn为等差数列

 

对于某个序列离散之积的和Sum(T)

sum(T) =

索引和  indexSum(T) = 

猜想：在什么条件下，indexSum（T1）  <   indexSum(T2)， 可以推出  sum(T1) < sum(T2)

 

看最简单情况：

设f(x) = g(x) = kx + b

根据定义xn = kn+b

xixj = (ki+b)(kj+b) = k*k *i*j + kb(i+j) + b*b

当i，j分别取遍1到n，并一一对应

 

   indexSum(T) = 

Sum(T) =  = k*k  (indexSum(T) =  )+ 2nkb + n b*b

即Sum（T）和  indexSum(T)为线性关系

所以

如果indexSum（T1）  <   indexSum(T2)，  那么 sum(T1) < sum(T2)

推导到f(x),g(x) 为等差数列，有此不等式

此时推广到多项式

f(x) = ap * x^p + ap-1  *x^p-1  +...+ a1*x + a0

 

g(x) = bq * x^q + bq-1  *x^q1  +...+ b1*x + b0

 

Sum(T) =   = U( indexSum(T)) + 常数

Sum(T)和U（indexSum（T））为多项式关系

对于非多项式，我们可以用泰勒展开。

如果Sum（T） = U( indexSum(T)) + 常数

如果U是递增的，我们就可以知道命题是对的

 

之前我有一篇把离散数字抽象为连续函数的文章，对于任意两个数组相乘，对于特殊的函数，我们都能在n!个排序和中只用O(n²)求出该乘积和排在第几名，成功将