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贪心算法应用：埃及分数问题详解

news 2025/9/18 12:26:07

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贪心算法与埃及分数问题详解

埃及分数（Egyptian Fractions）问题是数论中的经典问题，要求将一个真分数表示为互不相同的单位分数之和。本文将用2万字全面解析贪心算法在埃及分数问题中的应用，涵盖数学原理、算法设计、Java实现、优化策略及扩展应用。

一、埃及分数问题定义

1.1 基本概念

单位分数：分子为1的正分数（如1/2、1/3）
埃及分数表示：任何正有理数可表示为有限个不同单位分数之和
数学定理：∀ a/b ∈ (0,1), ∃ 有限序列 {1/k₁, 1/k₂, …, 1/kₙ} 使得 a/b = Σ 1/kᵢ

1.2 问题形式化
输入：两个正整数 a, b（满足 0 < a < b）
输出：一组互不相同的单位分数，使得它们的和等于 a/b

示例：

7/8 = 1/2 + 1/3 + 1/24  
2/3 = 1/2 + 1/6  
5/6 = 1/2 + 1/3

二、贪心算法策略与数学原理

2.1 贪心选择策略
每次选择满足以下条件的最大单位分数：

1/k ≤ 当前剩余分数
k 是满足条件的最小正整数

数学推导：
对于剩余分数 a’/b’，选择：

k = ceil(b'/a')

然后计算新剩余分数：

a'/b' - 1/k = (a'*k - b') / (b'*k)

2.2 正确性证明

终止性：每次操作后分子严格递减
- 新分子：a’’ = a’*k - b’ < a’
正确性：通过数学归纳法可证明总能找到解

2.3 算法步骤

初始化剩余分数为 a/b
循环直到剩余分数为0：
a. 计算当前最大单位分数 1/k
b. 将 1/k 加入结果集
c. 计算剩余分数 = 剩余分数 - 1/k
d. 化简剩余分数
返回结果集

三、基础Java实现

3.1 核心代码结构

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class EgyptianFractions {// 计算最大公约数private static int gcd(int a, int b) {while (b != 0) {int temp = b;b = a % b;a = temp;}return a;}// 分数化简private static int[] reduceFraction(int a, int b) {int common = gcd(a, b);return new int[]{a / common, b / common};}// 贪心算法分解埃及分数public static List<String> getEgyptianFractions(int numerator, int denominator) {List<String> result = new ArrayList<>();while (numerator != 0) {// 计算当前k值int k = (int) Math.ceil((double) denominator / numerator);result.add("1/" + k);// 计算剩余分数: numerator/denominator - 1/kint newNumerator = numerator * k - denominator;int newDenominator = denominator * k;// 化简分数int[] reduced = reduceFraction(newNumerator, newDenominator);numerator = reduced[0];denominator = reduced[1];}return result;}public static void main(String[] args) {List<String> egyptian = getEgyptianFractions(7, 8);System.out.println("7/8 = " + String.join(" + ", egyptian));// 输出: 7/8 = 1/2 + 1/3 + 1/24}
}

3.2 代码解析

gcd函数：计算最大公约数用于分数化简
reduceFraction方法：将分数化为最简形式
核心循环逻辑：
- 计算当前最大单位分数的分母k
- 更新剩余分数分子分母
- 化简分数防止数值膨胀

3.3 时间复杂度分析

最坏情况：O(n)（n为分解步数）
每步计算：O(1)
实际效率取决于输入分数特性

四、高级实现与优化

4.1 防止整数溢出
使用长整型存储中间结果：

public static List<String> getEgyptianFractionsSafe(int numerator, int denominator) {List<String> result = new ArrayList<>();long num = numerator;long den = denominator;while (num != 0) {long k = (den + num - 1) / num; // 避免浮点计算result.add("1/" + k);long newNum = num * k - den;long newDen = den * k;// 化简long common = gcd(newNum, newDen);num = newNum / common;den = newDen / common;}return result;
}private static long gcd(long a, long b) {while (b != 0) {long temp = b;b = a % b;a = temp;}return a;
}

4.2 迭代代替递归
避免栈溢出风险：

public static List<String> getEgyptianFractionsIterative(int numerator, int denominator) {List<String> result = new ArrayList<>();int[] current = {numerator, denominator};while (current[0] != 0) {int a = current[0];int b = current[1];int k = (int) Math.ceil((double) b / a);result.add("1/" + k);int[] next = {a * k - b, b * k};int gcd = gcd(next[0], next[1]);current[0] = next[0] / gcd;current[1] = next[1] / gcd;}return result;
}

4.3 性能优化技巧

预计算加速：缓存常用分数分解
并行计算：多线程处理多个分数分解
符号处理：扩展支持负数分数

五、数学证明与实例分析

5.1 正确性证明
基例：当a=1时，直接返回1/b
归纳步骤：假设对a’ < a成立，则：

选择k = ⌈b/a⌉
剩余分数 (ak - b)/(bk) 的分子 a’ = a*k - b < a
根据归纳假设，剩余分数可分解

5.2 实例推演
以7/8为例：

步骤1: k = ceil(8/7)=2 → 1/2  
剩余: 7/8 - 1/2 = 3/8  
步骤2: k = ceil(8/3)=3 → 1/3  
剩余: 3/8 - 1/3 = 1/24  
步骤3: k=24 → 1/24  
剩余: 0 → 终止  
结果: 1/2 + 1/3 + 1/24

5.3 算法局限性

分解结果可能不是最短的埃及分数表示
示例：5/121 贪心分解需要多步，存在更优解
分母可能快速增长导致数值溢出

六、测试用例设计

6.1 基础测试

@Test
void testBasicCases() {// 测试用例1: 7/8List<String> result1 = EgyptianFractions.getEgyptianFractions(7, 8);assertEquals(Arrays.asList("1/2", "1/3", "1/24"), result1);// 测试用例2: 2/3List<String> result2 = EgyptianFractions.getEgyptianFractions(2, 3);assertEquals(Arrays.asList("1/2", "1/6"), result2);
}

6.2 边界测试

@Test
void testEdgeCases() {// 分子为1List<String> result3 = EgyptianFractions.getEgyptianFractions(1, 5);assertEquals(Collections.singletonList("1/5"), result3);// 大分母测试List<String> result4 = EgyptianFractions.getEgyptianFractions(1, 1000);assertEquals(Collections.singletonList("1/1000"), result4);
}

6.3 性能测试

@Test
void testPerformance() {long start = System.currentTimeMillis();EgyptianFractions.getEgyptianFractions(1234, 4321);long duration = System.currentTimeMillis() - start;assertTrue(duration < 100, "Time cost should be less than 100ms");
}