ε-δ语言（Epsilon–Delta 语言）

ε-δ语言（Epsilon–Delta 语言）

flyfish

在微积分中，极限的直观含义是当自变量无限接近某一点时，函数值无限接近某个常数。为了严格定义极限，数学家引入了 ε-δ语言（Epsilon–Delta language）。

ε（Epsilon）：表示要求的精度。
δ（Delta）：表示自变量接近的程度。

逻辑 1：直观解释

假设函数 $f(x)$ 在点 $a$ 附近有定义。
如果存在一个数 $L$，使得：无论事先给定一个多么小的 $\epsilon >0$，
总能找到一个 $\delta >0$，只要 $x$ 满足 $0<|x-a|<\delta$，
就保证 $|f(x)-L|<\epsilon$。

那么我们就说：
$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$$

逻辑 2：逐层分解

1. 前提条件
   $f(x)$ 在 $a$ 的“去心邻域”内有定义（不包含 $a$ 本身）。

2. 逻辑展开
   存在一个常数 $L$；任意给定一个 $\epsilon >0$；
   总能找到一个对应的 $\delta >0$；
   当 $0<|x-a|<\delta$ 时；就有 $|f(x)-L|<\epsilon$。

3. 结论
   如果以上条件成立，就说：
   $$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$$

逻辑 3：严格定义

设 $f(x)$ 在点 $a$ 的某个去心邻域 $U^{\circ }(a,\delta \_0)$ 内有定义。
如果存在常数 $L$，使得：

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\text{当 }0<|x-a|<\delta \text{ 时，有 }|f(x)-L|<\epsilon ,$

则称 $L$ 是 $f(x)$ 在 $x\to a$ 时的极限，记作：
$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$$

逻辑 4：符号与直观意义

符号/表述	数学含义	直观解释
$\forall \epsilon >0$	对于任意给定的正数ε	ε是误差容忍度：可以任意指定一个目标精度，要求f(x)与L的差距不超过这个精度。
$\exists \delta >0$	总存在正数δ	δ是自变量的控制范围：只要我能找到一个对应的δ，使得x落在a的δ邻域内（不包含a），就能满足你指定的ε精度。
$0<|x-a|<\delta$	x与a的距离小于δ，且x≠a	$|x-a|<\delta$：x在a的“δ邻域”内（左右两侧都靠近a）； $0<|x-a|$：极限与x=a处的函数值无关（即使f(a)无定义或不等于L，极限仍可存在）。
$|f(x)-L|<\epsilon$	f(x)与L的距离小于ε	满足了“误差容忍度”，即f(x)落在L的“ε邻域”内。

证明

证明：
$$\underset{x\to 3}{\lim }2x=6$$

步骤 1：写出目标条件

我们要证明：
对于任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得
$0<|x-3|<\delta \Rightarrow |2x-6|<\epsilon$

步骤 2：化简不等式

注意：
$|2x-6|=|2(x-3)|=2|x-3|$

因此，只要保证：
$2|x-3|<\epsilon$
即可。
一个式子是
$0<|x-3|<\delta$
另一个式子是
$|2x-6|=2|x-3|<2\cdot \frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$
$2|x-3|<\epsilon$

步骤 3：给出 δ 的选择

令：
$\delta =\frac{\epsilon }{2}$

那么，当 $0<|x-3|<\delta$ 时，有：
$|2x-6|=2|x-3|<2\delta =\epsilon$

步骤 4：结论

因此：
对任意 $\epsilon >0$，都能找到 $\delta =\epsilon /2$，使条件成立。
所以：
$$\underset{x\to 3}{\lim }2x=6$$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Rectangledef f(x):return 2 * xa = 3
L = 6
epsilon_values = [2, 1, 0.5]  # 逐渐缩小，模拟任意小 εfig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 5))for i, epsilon in enumerate(epsilon_values):ax = axes[i]delta = epsilon / 2  # δ = ε / 2# 生成 x 数据，用于绘制函数曲线x = np.linspace(a - 2, a + 2, 1000)y = f(x)# 绘制函数曲线ax.plot(x, y, 'b-', linewidth=2, label='f(x) = 2x')# 绘制 L、L+ε、L-ε 的水平线ax.axhline(y=L, color='g', linestyle='-', label=f'L = {L}')ax.axhline(y=L + epsilon, color='r', linestyle='--', label=f'L + ε = {L + epsilon}')ax.axhline(y=L - epsilon, color='r', linestyle='--', label=f'L - ε = {L - epsilon}')# 绘制 a - δ 和 a + δ 的垂直线ax.axvline(x=a - delta, color='m', linestyle='--', label=f'a - δ = {a - delta}')ax.axvline(x=a + delta, color='m', linestyle='--', label=f'a + δ = {a + delta}')# 绘制矩形区域，表示当 x 在 (a-δ, a+δ) 时，f(x) 在 (L-ε, L+ε) 内rect = Rectangle((a - delta, L - epsilon), 2 * delta, 2 * epsilon, facecolor='yellow', alpha=0.3)ax.add_patch(rect)# 标记点 (a, L)ax.plot(a, L, 'go', markersize=8, label='(a, L)')# 设置标题和坐标轴标签ax.set_title(f'ε = {epsilon}, δ = {delta}')ax.set_xlabel('x')ax.set_ylabel('f(x)')# 设置坐标轴范围，使图形更美观ax.set_xlim(a - 2, a + 2)ax.set_ylim(L - 4, L + 4)  # 调整 y 范围以匹配线性函数# 添加图例（放置在右上角，避免重叠）ax.legend(loc='upper right')# 网格ax.grid(True)plt.tight_layout()
plt.show()

再举个例子

选取函数 $f(x)=-x^2+4$ 作为例子。
当自变量 $x\to 1$ 时，函数的极限为：
$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=3$$
即极限值 $L=3$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Rectangle# 定义函数，这里以 f(x) = -x² + 4（在 x→1 时，极限 L=3）为例
def f(x):return -x**2 + 4# 极限相关参数
a = 1  # 趋近的点
L = 3  # 极限值# 创建画布和子图
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 5))# 不同的 ε 值
epsilon_values = [1, 0.5, 0.2]for i, epsilon in enumerate(epsilon_values):ax = axes[i]# 计算对应的 δ（这里简单通过函数在 a±δ 处的值与 L±ε 比较来近似找到 δ）# 从 a 开始向左右搜索，找到满足 |f(a±δ) - L| < ε 的最大 δdelta = 0.01while delta < 2 and (abs(f(a + delta) - L) < epsilon or abs(f(a - delta) - L) < epsilon):delta += 0.01delta -= 0.01  # 回退到满足条件的最大 δ# 生成 x 数据，用于绘制函数曲线x = np.linspace(a - 2, a + 2, 1000)y = f(x)# 绘制函数曲线ax.plot(x, y, 'b-', linewidth=2)# 绘制 L、L+ε、L-ε 的水平线ax.axhline(y=L, color='g', linestyle='-', label=f'$L = {L}$')ax.axhline(y=L + epsilon, color='r', linestyle='--', label=f'$L + \\epsilon = {L + epsilon:.1f}$')ax.axhline(y=L - epsilon, color='r', linestyle='--', label=f'$L - \\epsilon = {L - epsilon:.1f}$')# 绘制 a - δ 和 a + δ 的垂直线ax.axvline(x=a - delta, color='m', linestyle='--', label=f'$a - \\delta = {a - delta:.2f}$')ax.axvline(x=a + delta, color='m', linestyle='--', label=f'$a + \\delta = {a + delta:.2f}$')# 绘制矩形区域，表示当 x 在 (a-δ, a+δ) 时，f(x) 在 (L-ε, L+ε) 内rect = Rectangle((a - delta, L - epsilon), 2 * delta, 2 * epsilon, facecolor='yellow', alpha=0.3)ax.add_patch(rect)# 标记点 (a, L)ax.plot(a, L, 'go', markersize=8)# 设置标题和坐标轴标签ax.set_title(f'(epsilon = {epsilon})')ax.set_xlabel('x')ax.set_ylabel('f(x)')# 设置坐标轴范围，使图形更美观ax.set_xlim(a - 2, a + 2)ax.set_ylim(L - 2, L + 2)# 添加图例ax.legend()# 网格ax.grid(True)plt.tight_layout()
plt.show()