高数基础知识（下）②

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高数基础知识（下）①

文章目录集合

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七、微分方程

7.3 高阶线性微分方程

7.3.1 线性微分方程的解的结构

这里只讨论二阶线性微分方程，其结论可以推广到更高阶的方程。二阶线性微分方程的一般形式为
$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x),$$
这里的 $p(x),q(x),f(x)$ 均为连续函数。当方程右端的 $f(x)\equiv 0$ 时，称为二阶线性齐次方程，否则称为二阶线性非齐次方程。

• 齐次方程
  $$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0\text{\hspace{1em}(①)}$$

• 非齐次方程
  $$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x).\text{\hspace{1em}(②)}$$

定理 如果 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是齐次方程①的两个线性无关的特解，那么

$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$$

就是方程①的通解。

【注】 方程①的两个解线性无关的充要条件是它们之比不为常数。

定理 如果 $y^{\ast }$ 是非齐次方程②的一个特解，$y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是齐次方程①的两个线性无关的特解，则
$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+y^{\ast }(x)$$
是非齐次微分方程②的通解。

定理 如果 $y_1^{\ast }(x),y_2^{\ast }(x)$ 是非齐次方程②的两个特解，则 $y(x)=y_2^{\ast }(x)-y_1^{\ast }(x)$ 是齐次微分方程①的解。

定理 如果 $y_1^{\ast }(x),y_2^{\ast }(x)$ 分别是方程
$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x),$$

$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_2(x)$$
的特解，则 $y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }(x)$ 是方程
$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$$
的一个特解。

7.3.2 常系数齐次线性微分方程

二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0,\text{\hspace{1em}(③)}$$
其特征方程为 $r^2+pr+q=0$，设 $r_1,r_2$ 为该方程的两个根。

(1) 若 $r_1\ne r_2$ 为两个不相等的实特征根，则方程③的通解为
$$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}.$$

(2) 若 $r_1=r_2$ 为二重实特征根，则方程③的通解为
$$y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x}.$$

(3) 若 $r_1=\alpha +i\beta ,r_2=\alpha -i\beta$ 为一对共轭复根，则方程③的通解为
$$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x).$$

7.3.3 常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x).\text{\hspace{1em}(④)}$$

(1) 若 $f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$，其中 $P_m(x)$ 为 $x$ 的 $m$ 次多项式，则方程 ④ 的特解可设为
$$y^{\ast }=x^k{Q}_m(x)e^{\lambda x},$$
其中 $Q_m(x)$ 是与 $P_m(x)$ 同次的多项式，$k$ 是特征方程含根 $\lambda$ 的重复次数。

(2) 若 $f(x)=e^{\alpha x}[P_l^{(1)}(x)\cos \beta x+P_n^{(2)}(x)\sin \beta x]$，其中 $P_l^{(1)}(x),P_n^{(2)}(x)$ 分别为 $x$ 的 $l$ 次、$n$ 次多项式，则方程 ④ 的特解可设为
$$y^{\ast }=x^k{e}^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)\cos \beta x+R_m^{(2)}(x)\sin \beta x],$$
其中 $R_m^{(1)}(x),R_m^{(2)}(x)$ 是两个 $m$ 次多项式，$m=\max (l,n)$。

当 $\alpha +i\beta$ 不是方程 ③ 的特征根时，取 $k=0$。
当 $\alpha +i\beta$ 是程 ③ 的单特征根时，取 $k=1$。

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【例22】（2009，数一）若二阶常系数线性齐次微分方程 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ 的通解为 $y=(C_1+C_{2}x)e^x$，则非齐次方程 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=x$ 满足条件 $y(0)=2,y^{\prime }(0)=0$ 的解为______。

由微分方程 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ 的通解为 $y=(C_1+C_{2}x)e^x$ 可知，$r=1$ 是齐次方程的特征方程的二重根，则齐次方程的特征方程为 $(r-1{)}^2=0$，即 $r^2-2r+1=0$，则 $a=-2,b=1$，非齐次方程为 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=x$。

设非齐次方程的特解为 $y^{\ast }=a^{\prime }x+b^{\prime }$，代入方程得 $a^{\prime }=1,b^{\prime }=2$，则其通解为 $y=(C_1+C_{2}x)e^x+x+2$。

由 $y(0)=2,y^{\prime }(0)=0$ 知 $C_1=0,C_2=-1$，故 $y=x(1-e^x)+2$。

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八、多元函数微分学

8.1 偏导数

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $f(x,y)$ 的某邻域内有定义，若极限
$$f(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$$

存在，则称该极限为 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处对 $x$ 的偏导数，记为 $\frac{\partial z}{\partial x}$。即

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$$

同理

$$\frac{\partial z}{\partial y}=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$$

注：在函数的分界点处的偏导数，用偏导数定义求。

8.2 全微分

 设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 的某邻域内有定义，分别给 $x,y$ 以增量 $\Delta x,\Delta y$，相应地得到函数的全增量 $\Delta z$，若其可表示为

$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho ),$$

其中 $A,B$ 与 $\Delta x,\Delta y$ 无关，$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$，$o(\rho )$ 为 $\Delta x\to 0,\Delta y\to 0$ 时 $\rho$ 的高阶无穷小，则称函数 $f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 处可微。
  $A\Delta x+B\Delta y$ 称为 $f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 处的全微分。

记 $$dz=A\Delta x+B\Delta y$$，当 $z=f(x,y)$ 在 $P(x,y)$ 的斜面可微时，$A=\frac{\partial z}{\partial x}$，$B=\frac{\partial z}{\partial y}$。则

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

用全微分定义验证一个可导函数的可微性，只需验证：$$\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\Delta z-f_x^{\prime }(x,y)\Delta x-f_y^{\prime }(x,y)\Delta y}{\rho }$$ 是否为0

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8.3 基本定理

Th1（求偏导与次序无关定理）设 $z=f(x,y)$ 的两个混合偏导数 $f_{xy}^{\prime \prime }(x,y),f_{yx}^{\prime \prime }(x,y)$ 在区域 $D$ 内连续，则有
$$f_{xy}^{\prime \prime }(x,y)=f_{yx}^{\prime \prime }(x,y)$$

Th2（可微与偏导存在的关系定理）若 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 处可微，则在该点处 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$ 必存在，且有
$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

Th3（偏导存在与可微的关系定理）若 $z=f(x,y)$ 的两个偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$ 在 $P(x,y)$ 上的某邻域内存在，且在 $P(x,y)$ 连续。则 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 处可微。

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8.4 复合函数微分法

(1) 设 $z=f(u,v),u=\phi (x,y),v=\psi (x,y)$，则
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}\\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}$$

(2) 设 $z=f(u,v),u=\phi (x),v=\psi (x)$，则
$$\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{du}{dx}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{dv}{dx}$$
称为 $z$ 的全导数。

(3) 设 $z=f(x,u,v),u=\phi (x,y),v=\psi (x,y)$，则
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}\\ \frac{\partial z}{\partial y}=0+\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}$$

注：复合函数一定要按中间变量，抽象函数的简阶偏导数，其中间变量用数字1,2,3,…表示更简洁。

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8.5 隐函数微分法

(1) 设 $F(x,y)=0$，则 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }(x,y)}{F_y^{\prime }(x,y)}$。

(2) 设 $F(x,y,z)=0$，则
$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }(x,y,z)}{F_z^{\prime }(x,y,z)},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }(x,y,z)}{F_z^{\prime }(x,y,z)}$$

(3) 设由方程组
$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$
确定的隐函数为 $y=y(x),z=z(x)$，则 $\frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx}$ 可通过解关于 $\frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx}$ 的线性方程组：
$$\{\begin{array}{l}{F}_x^{\prime }+F_y^{\prime }\frac{dy}{dx}+F_z^{\prime }\frac{dz}{dx}=0\\ G_x^{\prime }+G_y^{\prime }\frac{dy}{dx}+G_z^{\prime }\frac{dz}{dx}=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{F}_y^{\prime }\frac{dy}{dx}+F_z^{\prime }\frac{dz}{dx}=-F_x^{\prime }\\ G_y^{\prime }\frac{dy}{dx}+G_z^{\prime }\frac{dz}{dx}=-G_x^{\prime }\end{array}$$

来求解。

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8.6 多元函数的极值

定义 设函数 $z=f(x,y)$ 在 $P(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义, 若对于该邻域内异于点 $P(x_0,y_0)$ 的任一点 $Q(x,y)$, 恒有

$$f(x,y)>f(x_0,y_0)(\text{或}<f(x_0,y_0)),$$

则称 $f(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 的极小值（或极大值）。

Th1（取极值的必要条件） 设 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 的一阶偏导数存在, 且 $P(x_0,y_0)$ 是 $z=f(x,y)$ 极值点, 则

$$\{\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }(x_0,y_0)=0\\ f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0\end{array}$$

Th2（函数取极值的充分条件）设 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 的某邻域内有连续的二阶偏导数，且
$$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0,f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$$
$$[f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0){]}^2-f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\cdot f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)<0,$$
则 $P(x_0,y_0)$ 是 $z=f(x,y)$ 的一个极值点。

① 若 $f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)>0$ (或 $f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)>0$)，则 $P(x_0,y_0)$ 为极小值点。
② 若 $f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)<0$ (或 $f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)<0$)，则 $P(x_0,y_0)$ 为极大值点。

8.6.1 无条件极值

解题程序：
① 求出 $z=f(x,y)$ 的驻点 $(x_0,y_0)$；

② 用 Th2 判别点 $(x_0,y_0)$ 是否为极值点。若是，则 $f(x_0,y_0)$ 为 $z=f(x,y)$ 的极值。

8.6.2 条件极值（拉格朗日乘数法）

① 由条件 $\phi (x,y)=0$，求 $z=f(x,y)$ 的极值。

解题程序：

1. 令 $F(x,y)=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$；

2. 解方程组
   $$\{\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }(x,y)+\lambda {\phi }_x^{\prime }(x,y)=0\\ f_y^{\prime }(x,y)+\lambda {\phi }_y^{\prime }(x,y)=0\\ \phi (x,y)=0\end{array}$$
   求驻点 $(x_0,y_0)$；

3. $f(x_0,y_0)$ 即为 $f(x,y)$ 的极值（存在的话）。

② 由条件 $\phi (x,y,z)=0$，求 $u=f(x,y,z)$ 的极值。

解题程序：

1. 令 $F(x,y,z)=f(x,y,z)+\lambda \phi (x,y,z)$；

2. 解方程组
   $$\{\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }(x,y,z)+\lambda {\phi }_x^{\prime }(x,y,z)=0\\ f_y^{\prime }(x,y,z)+\lambda {\phi }_y^{\prime }(x,y,z)=0\\ f_z^{\prime }(x,y,z)+\lambda {\phi }_z^{\prime }(x,y,z)=0\\ \phi (x,y,z)=0\end{array}$$
   若 $(x_0,y_0,z_0)$ 为其解，$f(x_0,y_0,z_0)$ 即为 $f(x,y,z)$ 的极值（若存在的话）。

③ 由条件 ${\phi }_1(x,y,z)=0,{\phi }_2(x,y,z)=0$ 求函数 $u=f(x,y,z)$ 的极值。

解题程序：
① 令 $F(x,y,z)=f(x,y,z)+{\lambda }_1{\phi }_1(x,y,z)+{\lambda }_2{\phi }_2(x,y,z)$
② 以下仿①、②。

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九、二重积分

9.1 二重积分的概念

定义 设函数 $z=f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上有定义，将区域 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域
$$\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,\cdots ,\Delta {\sigma }_n,$$
其中 $\Delta {\sigma }_i$ 表示第 $i$ 个小区域，也表示它的面积。在每个 $\Delta {\sigma }_i$ 上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$，作乘积 $f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$，并求和 ${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$。记 $\lambda$ 为 $n$ 个小区域 $\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,\cdots ,\Delta {\sigma }_n$ 中的最大直径，如果
$$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$$
存在，则称此极限值为函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上的二重积分，记为
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i.$$

几何意义 二重积分 $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma$ 是一个数。当 $f(x,y)\ge 0$ 时，其值等于以区域 $D$ 为底，以曲面 $z=f(x,y)$ 为曲顶的曲顶柱体的体积；当 $f(x,y)\le 0$ 时，二重积分的值为负值，其绝对值等于上述曲顶柱体的体积。

9.2 二重积分的性质

性质1（不等式性质）

(1) 若在 $D$ 上 $f(x,y)\le g(x,y)$，则
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma \le \underset{D}{\iint }g(x,y)d\sigma .$$

(2) 若在 $D$ 上 $m\le f(x,y)\le M$，则
$$m\sigma \le \underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma \le M\sigma ,$$
其中 $\sigma$ 为区域 $D$ 的面积。

(3) $$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma \le \underset{D}{\iint }|f(x,y)|d\sigma .$$

性质2（中值定理）
设函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，$\sigma$ 为区域 $D$ 的面积，则在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi ,\eta )$，使得
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )\cdot \sigma .$$

9.3、二重积分的计算

9.3.1 利用直角坐标计算

(1) 先 $y$ 后 $x$。积分区域 $D$ 可以用 $a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)$ 表示，
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy.$$

(2) 先 $x$ 后 $y$。积分区域 $D$ 可以用 $c\le y\le d,{\phi }_1(y)\le x\le {\phi }_2(y)$ 表示，
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_c^{d}dy{\int }_{{\phi }_1(y)}^{{\phi }_2(y)}f(x,y)dx.$$

9.3.2 利用极坐标计算

先 $r$ 后 $\theta$。积分区域 $D$ 可以用 $\alpha \le \theta \le \beta ,{\phi }_1(\theta )\le r\le {\phi }_2(\theta )$ 表示，
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{{\phi }_1(\theta )}^{{\phi }_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr.$$

9.3.3 利用函数的奇偶性计算

(1) 若积分域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，$f(x,y)$ 关于 $x$ 有奇偶性，则：
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{ll}2\underset{D_{x\ge 0}}{\iint }f(x,y)d\sigma ,& f(x,y)\text{ 关于 }x\text{ 为偶函数},\\ 0,& f(x,y)\text{ 关于 }x\text{ 为奇函数}.\end{array}$$

(2) 若积分域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，$f(x,y)$ 关于 $y$ 有奇偶性，则：
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{ll}2\underset{D_{y\ge 0}}{\iint }f(x,y)d\sigma ,& f(x,y)\text{ 关于 }y\text{ 为偶函数},\\ 0,& f(x,y)\text{ 关于 }y\text{ 为奇函数}.\end{array}$$

9.3.4 利用变量的轮换对称性计算

如果积分域 $D$ 具有轮换对称性，也就是关于直线 $y=x$ 对称，即 $D$ 的表达式中将 $x$ 换作 $y$，$y$ 换作 $x$，表达式不变，则
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{D}{\iint }f(y,x)d\sigma .$$