xtuoj 原根

题目

思路

快速幂

这里可以参考快速幂（c++，超级详细）-CSDN博客这篇文章，举个例子计算a^5，将指数5转为二进制为101，所以a^5=a*a^4，按照代码首先是res=1，这里是用来存最后计算的结果的，初始化为1，是因为任何一个数乘以1等于它本身，再然后是while(b)，这个循环条件是b，二进制中非0则1，只要是1就会满足条件，就会进入while循环，循环内部首先是if(b&1)，由位运算的知识，0&1=0，0&0=0，1&0=0，1&1=0，这是按位与运算，只有二者都为1时结果为1，任意出现0则结果为0，1的二进制数只有末尾为1，其余位为0，所以不管b其余位是什么，按位与的结果只会为0，所以我们只要考虑b末位，当b的末尾为1时，满足if语句条件，执行res*=a，然后把b的末位抹去，即b>>1，即b右移一位，然后a也要翻倍，因为我们是考虑a^1，a^2，a^4...，如此循环，直到b为0时结束，我们就计算出a^b了，时间复杂度也从O(n)优化到O(logn)，因为每次我们不是一个一个的去乘了，而是每次都会翻倍，是指数式的，所以时间复杂度也就会变成O(logn)

我们这个题目使用的是带余数的快速幂，上述我解释了不带余数版本，带余数版本类似，这里不再赘述，注意要在过程中每次都取余，而不是计算出a^b以后再取余

分解质因数

将temp分解成质因数的乘积，并记录每个质因数，采用试除法，从2开始，质因数最大为≤ √(原始temp)，用factors数组记录质因数，用while循环将当前的质因数全部除尽，重复操作，最后剩下来的temp如果大于1，那么它本身也是一个质因数，这是由于质数判定定理，如果一个数 n > 1 且不能被任何 ≤ √n 的质数整除，那么 n 本身一定是质数

原根

参考文章原根-快速求解一个数的原根_求原根-CSDN博客，但是这个博主写的程序有点问题哈，主要看下面这部分吧，证明要用到欧拉函数和裴蜀定理

代码

#include<stdio.h>
#include<stdbool.h>
#define ll long longll fast_pow(ll a, ll b, ll p){ll res=1;while(b>0){if(b&1) res=(res*a)%p;a=(a*a)%p;b>>=1;}return res;
}bool is_pri_root(ll p){int cnt=0;ll factors[100];ll temp=p-1;//分解p-1的质因数for(ll i=2;i<=temp/i;i++){if(temp%i==0){factors[cnt++]=i;while(temp%i==0){temp/=i;}}}if(temp>1) factors[cnt++]=temp;//检查2^((p-1)/q)%p是否为1，为1，则不是原根，q为质因数for(int i=0;i<cnt;i++){ll ex=(p-1)/factors[i];if(fast_pow(2,ex,p)==1) return false;}return true;
}int main(){ll p;while(scanf("%lld",&p)!=EOF){if(is_pri_root(p)) printf("Yes\n");else printf("No\n");}return 0;
}