4-机器学习与大模型开发数学教程-第0章 预备知识-0-4 复数与指数形式（欧拉公式）

在学习机器学习和大模型之前，除了集合、逻辑、数列，我们还要认识一个“神秘的朋友”——复数（Complex number）。
复数不仅仅是数学里的“虚数”，它还在信号处理、神经网络中的傅里叶变换、Transformer 里的注意力机制等地方频繁出现。

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0-3 复数与指数形式

1. 什么是复数？

我们先从实数说起：

• 实数轴：包含整数、有理数、小数……
• 但是有些方程在实数范围解不出来，比如：
  $x^2+1=0$
  在实数里没有解。

这时数学家“发明”了一个新单位：

$i=\sqrt{-1}$

于是我们得到 复数：

$z=a+bi,(a,b\in \mathbb{R})$

这里：

• $a$ 是实部（real part）；
• $b$ 是虚部（imag part）。

生活类比：

• 可以把复数想象成二维坐标：$(a,b)$。
• 实部是“东西方向”，虚部是“南北方向”。

在平面直角坐标系上，复数就是一个点。

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2. 复数的几何表示

复数 $z=a+bi$ 可以在平面上画成一个点 $(a,b)$。
如果把原点作为起点，这个点也可以看作一根向量。

我们可以用极坐标来描述它：

• 长度（模）：
  $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
• 角度（辐角）：
  $\theta =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$

于是：
$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

这个表示方式就是 复数的指数形式 的基础。

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3. 欧拉公式

欧拉公式是数学里最美的桥梁之一：

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

它把指数函数、三角函数、虚数联系到了一起。

为什么成立？
回忆幂级数展开：

• 指数函数：
  $e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots$

• 代入 $x=i\theta$：

$$ei\theta =1+i\theta 1!+(i\theta )22!+(i\theta )33!+\dots e^{i\theta }=1+\frac{i\theta }{1!}+\frac{(i\theta {)}^2}{2!}+\frac{(i\theta {)}^3}{3!}+\dots$$

• 拆开：

  • 实部 = $\cos \theta$
  • 虚部 = $i\sin \theta$

于是得到：
$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

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graph TDA[实数指数 e^x]B[虚数指数 e^（iθ）]C[cosθ + i·sinθ]A --> B --> C

图示说明：欧拉公式展示了指数函数如何自然地延伸到复数域，把“旋转角度”与“指数增长”联系起来。

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4. 复数的指数形式

利用欧拉公式，我们可以写：

$z=r{e}^{i\theta }$

这就是复数的指数形式。

它非常方便：

• 乘法：模相乘，角度相加
  $z_1{z}_2=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$
• 幂运算：
  $z^n=r^n{e}^{in\theta }$
  （这就是著名的 棣莫弗公式）

直观理解：
复数相乘 ≈ 向量旋转并缩放。

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5. 在机器学习中的应用

复数和欧拉公式并不是“纯理论”的，它们在 AI 里有不少影子：

1. 傅里叶变换
   • 信号处理、语音识别、图像压缩，核心都是把信号分解成“正弦和余弦”的组合。
   • 这正是欧拉公式的威力：$e^{i\theta }$ 本质上就是旋转波。
2. 神经网络中的卷积
   • 卷积定理表明：卷积在时域对应频域的乘法。
   • 而频域就是通过复数和欧拉公式得到的傅里叶空间。
3. Transformer 与注意力机制
   • 近年来有研究把注意力机制用傅里叶变换加速。
   • 背后同样离不开复数的指数形式。

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小结

• 复数：扩展了实数，形如 $a+bi$。
• 几何表示：复数可以看作平面上的点或向量。
• 欧拉公式：$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$，连接了指数和三角函数。
• 指数形式：$z=r{e}^{i\theta }$，让乘法与旋转结合，非常简洁。
• AI 应用：复数与傅里叶变换、卷积、注意力机制紧密相关，是大模型背后的数学基石之一。