【高等数学】第十一章 曲线积分与曲面积分——第六节 高斯公式 通量与散度

上一节：【高等数学】第十一章 曲线积分与曲面积分——第五节 对坐标的曲面积分
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1. 高斯公式

设空间区域$\Omega$是由分片光滑的闭曲面$\Sigma$所围成，若函数$P(x,y,z),Q(x,y,z)$与$R(x,y,z)$在$\Omega$上具有一阶连续偏导数，则有高斯公式$$\underset{\Omega }{\iiint }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=\underset{\Sigma }{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$或$$\underset{\Omega }{\iiint }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=\underset{\Sigma }{\iint }\left(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma \right)\mathrm{d}S,$$这里$\Sigma$是$\Omega$的整个边界曲面的外侧，$\cos \alpha ,\cos \beta$与$\cos \gamma$是$\Sigma$在点$(x,y,z)$处的法向量的方向余弦。

设闭区域$\Omega$在$xOy$面上的投影区域为$D_{xy}$，假定穿过$\Omega$内部且平行于$z$轴的直线与$\Omega$的边界曲面$\Sigma$的交点恰好是两个。
设 $\Sigma$ 由${\Sigma }_1$、${\Sigma }_2$ 和 ${\Sigma }_3$ 三部分组成，其中${\Sigma }_1$ 和${\Sigma }_2$分别由方程 $z=z_1(x,y)$ 和 $z=z_2(x,y)$ 给定，这里 $z_1(x,y)⩽z_2(x,y)$，${\Sigma }_1$ 取下侧，${\Sigma }_2$ 取上侧，${\Sigma }_3$ 是以 $D_{xy}$ 的边界曲线为准线而母线平行于 $z$ 轴的柱面上的一部分，取外侧。
∭Ω∂R∂zdv=∬Dxy{∫z1(x,y)z2(x,y)∂R∂zdz}dxdy=∬Dxy{R[x,y,z2(x,y)]−R[x,y,z1(x,y)]}dxdy\displaystyle\iiint\limits_{\Omega}\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}v=\iint\limits_{D_{xy}} \left\{ \int_{z_{1}(x,y)}^{z_{2}(x,y)} \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{d}z \right\} \mathrm{d}x \mathrm{d}y\\=\iint\limits_{D_{xy}}\left\{R\left[x,y,z_{2}\left(x,y\right)\right]-R\left[x,y,z_{1}\left(x,y\right)\right]\right\}\mathrm{d}x\mathrm{d}yΩ∭​∂z∂R​dv=Dxy​∬​{∫z1​(x,y)z2​(x,y)​∂z∂R​dz}dxdy=Dxy​∬​{R[x,y,z2​(x,y)]−R[x,y,z1​(x,y)]}dxdy
$$\begin{gathered} \underset{\Sigma }{\iint }R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{{\Sigma }_1}{\iint }R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\underset{{\Sigma }_2}{\iint }R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\underset{{\Sigma }_3}{\iint }R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ =-\underset{D_{xy}}{\iint }R(x,y,z_1(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\underset{D_{xy}}{\iint }R(x,y,z_2(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{gathered}$$
上述两个积分显然相等
同理可得$$\begin{gathered} \underset{\Omega }{\iiint }\frac{\partial P}{\partial x}\mathrm{d}v=\underset{\Sigma }{\iint }P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z, \\ \underset{\Omega }{\iiint }\frac{\partial Q}{\partial y}\mathrm{d}v=\underset{\Sigma }{\iint }Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x \end{gathered}$$
如果不满足穿过$\Omega$内部且平行于$z$轴的直线与$\Omega$的边界曲面$\Sigma$的交点恰好是两个，可以引进几张辅助曲面把 $\Omega$ 分为有限个闭区域，使得每个闭区域满足这样的条件，并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反，相加时正好抵消，因此高斯公式对于这样的闭区域仍然是正确的。

2. 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件

• 空间单连通
  对空间区域 $G$，如果 $G$ 内任一闭曲面所围成的区域全属于 $G$，则称 $G$ 为空间二维单连通区域；
  如果 $G$ 内任一闭曲线总可以张成一片完全属于 $G$ 的曲面，则称 $G$ 为空间一维单连通区域。

  如果任何闭合曲线（或闭合曲面）能在空间区域缩于一点，则该空间区域是一维（或二维）单连通的

• 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
  设$G$是空间二维单连通区域。
  若$P(x,y,z)$，$Q(x,y,z)$与$R(x,y,z)$在$G$内具有一阶连续偏导数，则曲面积分$$\underset{\Sigma }{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$在$G$内与所取曲面$\Sigma$无关而只取决于$\Sigma$的边界曲线（或沿$G$内任一闭合曲面的曲面积分为零）的充分必要条件是$$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$$在$G$内恒成立。

  沿$G$内任一闭合曲面的曲面积分为零，这意味着对于具有相同边界曲线的两个曲面 ${\Sigma }_1$ 和 ${\Sigma }_2$，它们组合成一个闭合曲面（如 ${\Sigma }_1-{\Sigma }_2$），积分差为零，故积分值相等。因此，积分只取决于边界曲线。

3. 通量与散度

• 通量
  设有向量场$A(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf{i}+Q(x,y,z)\mathbf{j}+R(x,y,z)\mathbf{k}$，其中函数$P$、$Q$与$R$均具有一阶连续偏导数，$\Sigma$是场内的一片有向曲面，$\mathbf{n}$是$\Sigma$在点$(x,y,z)$处的单位法向量，则积分$$\underset{\Sigma }{\iint }\mathbf{A}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}S$$称为向量场$A$通过曲面$\Sigma$向着指定侧的通量（或流量）。
• 散度
  $$\underset{\Omega }{\iiint }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=\underset{\Sigma }{\iint }{v}_n\mathrm{d}S.$$以闭区域 $\Omega$ 的体积 $V$ 除上式两端，得$$\frac{1}{V}\underset{\Omega }{\iiint }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=\frac{1}{V}\underset{\Sigma }{\iint }{v}_n\mathrm{d}S.$$应用积分中值定理于上式左端，得$${\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)|}_{(\xi ,\eta ,\zeta )}=\frac{1}{V}\underset{\Sigma }{\iint }{v}_n\mathrm{d}S,$$这里 $(\xi ,\eta ,\zeta )$ 是 $\Omega$ 内的某点。
  令 $\Omega$ 缩向一点 $M(x,y,z)$，取上式的极限，得$$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\underset{\Omega \to M}{\lim }\frac{1}{V}\underset{\Sigma }{\iint }{v}_n\mathrm{d}S$$上式左端称为向量场 $\mathbf{v}$ 在点 $M$ 的通量密度或散度，记作 $\mathrm{div}\mathbf{v}(M)$，即$$\mathrm{div}\mathbf{v}(M)=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.$$ $\mathrm{div}\mathbf{v}(M)$ 可看做稳定流动的不可压缩流体在点 $M$ 的源头强度。
  在$\mathrm{div}\mathbf{v}(M)>0$ 的点处，流体从该点向外发散，表示流体在该点处有正源；
  在 $\mathrm{div}\mathbf{v}(M)<0$ 的点处，流体向该点汇聚，表示流体在该点处有吸收流体的负源（又称为汇或洞）；
  在 $\mathrm{div}\mathbf{v}(M)=0$ 的点处，表示流体在该点处无源。
• 向量场的散度
  对于向量场$$A(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf{i}+Q(x,y,z)\mathbf{j}+R(x,y,z)\mathbf{k}$$$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ 叫做向量场$\mathbf{A}$的散度，记作 $\mathrm{div}\mathbf{A}$，即$$\mathrm{div}\mathbf{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.$$利用向量微分算子$\nabla$，向量场$\mathbf{A}$的散度$\mathrm{div}\mathbf{A}$也可表示为$\nabla \cdot \mathbf{A}$，即$$\mathrm{div}\mathbf{A}=\nabla \cdot \mathbf{A}.$$如果向量场$\mathbf{A}$的散度$\mathrm{div}\mathbf{A}$ 处处为零，那么称向量场$\mathbf{A}$为无源场。
• 高斯公式的向量形式
  $$\underset{\Omega }{\iiint }\mathrm{div}\mathbf{A}\mathrm{d}v=\underset{\Omega }{\iiint }\nabla \cdot \mathbf{A}\mathrm{d}v=\underset{\Sigma }{\iint }{A}_n\mathrm{d}S$$向量场$\mathbf{A}$通过闭合面$\Sigma$流向外侧的通量等于向量场$\mathbf{A}$的散度在闭合面$\Sigma$所围闭区域$\Omega$上的积分。

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