《树与二叉树详解：概念、结构及应用》
目录
一. 树的概念和结构
1.1 树的基本概念
1.2 树的结构特点
二. 树的表示方法和实际运用
2.1 孩子 - 兄弟表示法（Child-Sibling Representation）
2.2 树的实际应用场景
三. 二叉树的概念
3.1 二叉树的核心定义
3.2 二叉树的基本分类
四. 二叉树的性质
性质 1：节点数量与层数的关系
性质 2：深度与总节点数的关系
性质 3：叶子节点与度为 2 的节点的关系
性质 4：完全二叉树的深度
性质 5：完全二叉树的节点索引关系
五. 二叉树的存储结构
一、顺序存储结构
二、链式存储结构
一. 树的概念和结构
在数据结构中，树（Tree） 是一种非线性的数据结构，它由节点（Node）和边（Edge）组成，用于表示具有层次关系的数据。树的结构类似于自然界中的树，具有 “根”、“枝”、“叶” 等概念，但其形态是 “倒置” 的（根在上，叶在下）。
由上图可以推测出 每一个节点只有向上和向下链接 如果出现了左右链接 则不是树结构 如下:
1.1 树的基本概念
节点（Node）
树的基本组成单位，包含数据和指向子节点的引用（指针）。根节点（Root）
树的起点，没有父节点的节点（一棵树有且仅有一个根节点）。父节点与子节点
若节点 A 直接指向节点 B，则 A 是 B 的父节点，B 是 A 的子节点。
同一父节点的子节点互称为兄弟节点。
叶子节点（Leaf）
没有子节点的节点（即度为 0 的节点）。度（Degree）
一个节点拥有的子节点数量（叶子节点的度为 0，根节点的度至少为 1）。深度（Depth）
从根节点到当前节点的路径长度（根节点深度为 0 或 1，通常以 0 开始）。高度（Height）
从当前节点到最深叶子节点的路径长度（叶子节点高度为 0，根节点高度即树的高度）。路径（Path）
从一个节点到另一个节点经过的节点序列（树中路径唯一，无环）。子树（Subtree）
以某节点为根的所有后代节点组成的树（该节点及其子树是原树的一部分）。
1.2 树的结构特点
- 非线性结构：节点之间的关系不是线性的，而是层次化的。
- 无环性：任意两个节点之间有且仅有一条路径，不存在回路（环）。
- 根的唯一性：只有一个根节点，所有其他节点都直接或间接依附于根。
- 子树独立性：一棵树的子树之间互不相交（否则会形成环）。
二. 树的表示方法和实际运用
树的表示方法有很多 现在我向大家介绍孩子兄弟表示法
2.1 孩子 - 兄弟表示法（Child-Sibling Representation）
- 原理：将任意树转换为二叉树结构，每个节点包含三个部分：
- 数据域；
- 第一个子节点指针（指向最左子节点）；
- 右兄弟节点指针（指向同一父节点的下一个兄弟节点）。
- 结构示例（将多叉树转为二叉树）：
（原树中 A 的子节点是 B、C、D；B 的子节点是 E、F）A/B → C → D （B的右兄弟是C，C的右兄弟是D）/E → F （E的右兄弟是F） - 优点：将多叉树统一为二叉树结构，可复用二叉树的算法（如遍历、插入），节省空间。
- 缺点：结构较抽象，需理解 “兄弟节点” 的转换逻辑。
- 适用场景：多叉树与二叉树的转换（如森林的表示、语法树的存储）。
struct TreeNode
{struct Node* child; // 左边开始的第⼀个孩⼦结点struct Node* brother; // 指向其右边的下⼀个兄弟结点int data; // 结点中的数据域
};
2.2 树的实际应用场景
树的层次化、无环特性使其在解决具有 “父子关系”“层级分类” 的问题时极为高效，以下是典型场景：
1. 文件系统与目录结构
- 原理：操作系统的文件和文件夹以树状组织，根目录为根节点，文件夹为中间节点，文件为叶子节点。
- 示例：Windows 的
C:\Users\Document\file.txt是一条从根到叶子的路径。- 优势：支持高效的路径查找（如
cd命令遍历目录）和层级管理。2. 数据库索引
- 原理：B 树、B + 树等多叉树结构被用于数据库索引，平衡的树高保证了查询、插入、删除的高效性（时间复杂度 O (log n)）。
- 示例：MySQL 的 InnoDB 存储引擎使用 B + 树作为聚簇索引，叶子节点存储完整数据行，非叶子节点作为索引指引。
三. 二叉树的概念
下面向大家介绍树中最常见也是最常用的结构---二叉树
二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。这种 “最多两个子节点” 的特性使其结构相对简单，同时具备树的层次化、非线性特点，是数据结构中最常用的树类型之一。
从上图可以看出 二叉树即最多二分叉 所以最多只有两个子节点 下面看一下二叉树的核心定义
3.1 二叉树的核心定义
-
节点结构：每个节点包含三部分：
- 数据域（存储节点值）；
- 左子节点指针（指向左侧子节点，无则为
null）； - 右子节点指针（指向右侧子节点，无则为
null）。
-
基本特性：
- 根节点：无父节点的节点（二叉树有且仅有一个根节点，除非是空树）。
- 叶子节点：左、右子节点均为
null的节点（无子女）。 - 子树：以某个节点的左 / 右子节点为根的树，称为该节点的左 / 右子树（子树本身也是二叉树）。
- 层次（深度）：根节点为第 1 层，其子节点为第 2 层，以此类推。
- 高度：节点到最深叶子节点的路径长度（叶子节点高度为 1）。
3.2 二叉树的基本分类
-
空二叉树：没有任何节点的树。
-
满二叉树（Full Binary Tree）：
- 所有非叶子节点都有两个子节点；
- 所有叶子节点在同一层次（即最后一层）。
例如 
-
完全二叉树（Complete Binary Tree）：
- 除最后一层外，所有层的节点数都达到最大值；
- 最后一层的节点从左到右连续排列（不允许右侧有空缺）；
- 满二叉树是完全二叉树的特例。
例如（最后一层节点从左到右连续）：
满二叉树属于一种特殊的完全二叉树 关系图如下
四. 二叉树的性质
性质 1：节点数量与层数的关系
第 i 层最多有 2^(i-1) 个节点（i ≥ 1，层数从 1 开始计数）。
推导：第 1 层（根节点）最多 1 个节点（
2^0）；第 2 层最多 2 个节点（2^1）；第 3 层最多 4 个节点（2^2）…… 第i层最多为2^(i-1)个节点（每一层节点数是上一层的 2 倍，因每个节点最多 2 个子节点）。
性质 2：深度与总节点数的关系
深度为 k 的二叉树，最多有 2^k - 1 个节点（k ≥ 1）。
推导：总节点数为各层最大节点数之和，即
2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(k-1) = 2^k - 1（等比数列求和）。特例：满二叉树的总节点数恰好为
2^k - 1（每一层都达到最大节点数）。
性质 3：叶子节点与度为 2 的节点的关系
对任何一棵二叉树，若叶子节点数为 n₀，度为 2 的节点数为 n₂，则 n₀ = n₂ + 1。
-
推导：
-
设度为 1 的节点数为
n₁，总节点数N = n₀ + n₁ + n₂。 -
二叉树中，除根节点外，每个节点都有且仅有一个父节点，因此总边数为
N - 1（边数 = 节点数 - 1）。 -
边数也可由节点的度计算：度为 1 的节点贡献 1 条边，度为 2 的节点贡献 2 条边，叶子节点（度为 0）贡献 0 条边，因此总边数
= n₁×1 + n₂×2。 -
联立得：
n₀ + n₁ + n₂ - 1 = n₁ + 2n₂，化简后n₀ = n₂ + 1。
-
性质 4：完全二叉树的深度
具有 n 个节点的完全二叉树，其深度为 ⌊log₂n⌋ + 1（⌊x⌋ 表示向下取整）。
-
推导：
-
设深度为
k，则完全二叉树的节点数n满足：
深度为k-1的满二叉树节点数 <n≤ 深度为k的满二叉树节点数，
即2^(k-1) - 1 < n ≤ 2^k - 1。 -
不等式变形为
2^(k-1) ≤ n < 2^k，两边取对数得k-1 ≤ log₂n < k，因此k = ⌊log₂n⌋ + 1。
-
性质 5：完全二叉树的节点索引关系
对有
n个节点的完全二叉树，若按层次（从左到右）给节点编号（从 1 开始），则对任意节点i（1 ≤ i ≤ n）：
若
i > 1，则其父节点编号为⌊i/2⌋（左子节点的父节点为i/2，右子节点的父节点为(i-1)/2，统一为⌊i/2⌋）。若
2i ≤ n，则其左子节点编号为2i；否则无左子节点（叶子节点）。若
2i + 1 ≤ n，则其右子节点编号为2i + 1；否则无右子节点。例：编号为 3 的节点，父节点为
⌊3/2⌋ = 1，左子节点为6（若存在），右子节点为7（若存在）。
这些性质是二叉树遍历、构建（如堆的实现）、操作（如查找父 / 子节点）的理论基础，尤其在完全二叉树和满二叉树中应用广泛。
五. 二叉树的存储结构
二叉树的存储结构需要兼顾其逻辑特性（节点间的父子关系）和操作效率（如访问子节点、父节点），常见的存储方式有两种：顺序存储结构和链式存储结构。
一、顺序存储结构
顺序存储通过数组存储二叉树的节点，利用节点在数组中的索引位置反映其逻辑关系（父子、左右兄弟）。
适用场景：完全二叉树（或满二叉树），此时数组空间利用率最高；非完全二叉树会浪费较多空间。
存储规则
按层次遍历顺序（从根到叶，每层从左到右）将节点存入数组，索引从 0 或 1 开始（通常从 1 开始，便于计算父子关系）。
假设数组索引从 1 开始，对于任意节点 i：
- 左子节点索引：
2i（若存在）； - 右子节点索引：
2i + 1（若存在）； - 父节点索引：
i // 2（i > 1时）。
示例
完全二叉树的顺序存储：
优缺点
- 优点：访问子节点 / 父节点效率高（通过公式直接计算索引，时间复杂度
O(1)）；适合完全二叉树（无空间浪费）。 - 缺点：非完全二叉树需用
null填充空缺位置，空间利用率低；插入 / 删除节点时可能需要大量移动元素，效率低。
二、链式存储结构
链式存储通过指针（或引用） 连接节点，每个节点存储自身数据及指向子节点的指针，更灵活地表示任意二叉树。
节点结构
每个节点包含 3 个域：
- 数据域：存储节点的值；
- 左指针域：指向左子节点（
left）； - 右指针域：指向右子节点（
right）。
// C语言示例
typedef struct BiTNode {int data; // 数据域struct BiTNode *left; // 左子节点指针struct BiTNode *right; // 右子节点指针
} BiTNode, *BiTree;
任意二叉树的链式存储：
