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leedcode 算法刷题第三十二天

news 2025/9/12 4:57:39

52. 携带研究材料（第七期模拟笔试）

题目描述

小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的重量，并且具有不同的价值。

小明的行李箱所能承担的总重量是有限的，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料可以选择无数次，并且可以重复选择。

输入描述

第一行包含两个整数，n，v，分别表示研究材料的种类和行李所能承担的总重量

接下来包含 n 行，每行两个整数 wi 和 vi，代表第 i 种研究材料的重量和价值

输出描述

输出一个整数，表示最大价值。

输入示例

输出示例

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main(){int n,v;cin>>n>>v;vector<int> wi(n);vector<int> vi(n);for(int i=0;i<n;i++){cin>>wi[i]>>vi[i];}vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(v+1,0));for(int j = wi[0];j<=v;j++){dp[0][j] =dp[0][j-wi[0]]+vi[0];}for(int i=1;i<n;i++){for(int j=0;j<=v;j++){if(j<wi[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j];else{dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-wi[i]]+vi[i]);}}}cout<<dp[n-1][v]<<endl;return 0;
}

📊 DP数组定义

cpp

vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(v+1, 0));

dp[i][j]：考虑前i种物品，背包容量为j时的最大价值
注意：这里"种"很重要，因为每种物品可以选多次

🔄 状态转移逻辑

1. 初始化第一行（只考虑第一种物品）：

cpp

for(int j = wi[0]; j <= v; j++){dp[0][j] = dp[0][j - wi[0]] + vi[0];
}

对于第一种物品，从它能装下的最小容量开始
dp[0][j] = dp[0][j - wi[0]] + vi[0]：不断添加第一种物品
比如：物品重量2，价值3
- dp[0][2] = 3（装1个）
- dp[0][4] = dp[0][2] + 3 = 6（装2个）
- dp[0][6] = dp[0][4] + 3 = 9（装3个）

2. 处理其他物品：

cpp

for(int i = 1; i < n; i++) {for(int j = 0; j <= v; j++) {if(j < wi[i]) {dp[i][j] = dp[i-1][j];  // 装不下，继承之前的值} else {// 关键选择：不选当前物品 vs 选当前物品（可多个）dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j - wi[i]] + vi[i]);}}
}

🎯 关键选择逻辑

cpp

max(dp[i-1][j], dp[i][j - wi[i]] + vi[i])

dp[i-1][j]：不选第i种物品，价值等于前i-1种物品的最大价值
dp[i][j - wi[i]] + vi[i]：选第i种物品
- dp[i][j - wi[i]]：选了之后剩余容量的最大价值
- + vi[i]：加上当前物品的价值
- 注意：这里用dp[i]而不是dp[i-1]，意味着可以重复选当前物品

518. 零钱兑换 II

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

示例 3：

输入：amount = 10, coins = [10] 
输出：1

class Solution {
public:int change(int amount, vector<int>& coins) {vector<uint> dp(amount+1,0);dp[0] =1;for(int i=0;i<coins.size();i++){for(int j = coins[i];j<=amount;j++){dp[j]+=dp[j-coins[i]];}}return dp[amount];}
};

🧠 解题思路

1. DP数组定义

cpp

vector<uint> dp(amount + 1, 0);

dp[j]：凑成金额j的硬币组合数
使用uint防止大数相加溢出（很好的考虑！）

2. 初始化

cpp

dp[0] = 1;

关键：金额为0时，只有1种组合方式（什么都不选）
这是动态规划的基准情况

3. 核心算法

cpp

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {        // 遍历物品（硬币）for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {  // 遍历背包（金额）dp[j] += dp[j - coins[i]];}
}

🔍 详细解释

为什么这样遍历？

外层循环遍历硬币，内层循环遍历金额（正序）：

外层循环硬币：确保组合的顺序性，避免重复计算排列
- 先考虑用1元硬币，再考虑用2元硬币...
- 这样{1,2}和{2,1}不会被重复计算
内层正序遍历：允许硬币重复使用
- 计算dp[j]时，dp[j - coins[i]]可能已经包含当前硬币
- 实现了"无限次使用"的效果

状态转移方程

cpp

dp[j] += dp[j - coins[i]];

含义：要凑金额j，可以在凑出金额j - coins[i]的基础上，再添加一个coins[i]硬币（理解一下）
相加：累计所有可能的组合方式

377. 组合总和 Ⅳ

class Solution {
public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {vector<uint> dp(target+1,0);dp[0 ] = 1;for(int i = 1;i<=target;i++){for(int j =0;j<nums.size();j++){if(nums[j]<=i){dp[i] +=dp[i-nums[j]]; }}}return dp[target];}
};

这个题就是上一个题换一下物品，和背包的顺序就好了，排列先背包，组合先物品。

57. 爬楼梯（第八期模拟笔试）