求解指定泛函的驻点所满足的偏微分方程及边界条件

题目：

问题10. 写出泛函
$$\Phi (u)={\iint }_D\left(u_x^2-u_x{u}_y+u_y^2-2f(x,y)u\right)dxdy$$
的驻点所满足的方程和边界条件，其中 D={(x,y):0<x<2,0<y<1} D = \{(x,y): 0 < x < 2, 0 < y < 1\} D={(x,y):0<x<2,0<y<1}，且满足边界条件
$$u{|}_{y=0,1<x<2}=u{|}_{x=0}=u{|}_{x=2}=0.$$

解答：

为了找到泛函 $$\Phi (u)$$ 的驻点，需要求解相应的欧拉-拉格朗日方程和边界条件。泛函的 Lagrangian 为：
$$L=u_x^2-u_x{u}_y+u_y^2-2f(x,y)u$$
其中 $$u_x=\frac{\partial u}{\partial x}$$, $$u_y=\frac{\partial u}{\partial y}$$.

欧拉-拉格朗日方程对于双变量泛函为：
$$\frac{\partial L}{\partial u}-\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial L}{\partial u_x}-\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial L}{\partial u_y}=0$$

计算各部分：

• $$\frac{\partial L}{\partial u}=-2f(x,y)$$
• $$\frac{\partial L}{\partial u_x}=2u_x-u_y$$
• $$\frac{\partial L}{\partial u_y}=-u_x+2u_y$$

进一步求导：

• $$\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial L}{\partial u_x}=\frac{\partial }{\partial x}(2u_x-u_y)=2u_{xx}-u_{xy}$$
• $$\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial L}{\partial u_y}=\frac{\partial }{\partial y}(-u_x+2u_y)=-u_{xy}+2u_{yy}$$

代入欧拉-拉格朗日方程：
$$-2f-(2u_{xx}-u_{xy})-(-u_{xy}+2u_{yy})=0$$
简化得：
$$-2f-2u_{xx}+u_{xy}+u_{xy}-2u_{yy}=0$$
$$-2f-2u_{xx}+2u_{xy}-2u_{yy}=0$$
除以 -2：
$$f+u_{xx}-u_{xy}+u_{yy}=0$$
即：
$$u_{xx}-u_{xy}+u_{yy}=-f(x,y)$$

这是驻点必须满足的偏微分方程。

接下来处理边界条件。给定的边界条件为：

• 在 $$y=0$$ 且 $$1<x<2$$ 上：$$u=0$$
• 在 $$x=0$$ 上：$$u=0$$
• 在 $$x=2$$ 上：$$u=0$$

通过变分原理，考虑泛函的变分，在边界上未指定 $$u$$ 的部分需要施加自然边界条件。具体地：

• 在 $$y=0$$ 且 $$0<x<1$$ 上，由于 $$u$$ 未指定，需要满足自然边界条件：
  $$-u_x+2u_y=0$$
• 在 $$y=1$$ 上（整个 $$0<x<2$$），由于 $$u$$ 未指定，需要满足自然边界条件：
  $$-u_x+2u_y=0$$

因此，完整的边界条件为：

1. 在 $$x=0$$ 上：$$u=0$$
2. 在 $$x=2$$ 上：$$u=0$$
3. 在 $$y=0$$ 且 $$1<x<2$$ 上：$$u=0$$
4. 在 $$y=0$$ 且 $$0<x<1$$ 上：$$-u_x+2u_y=0$$
5. 在 $$y=1$$ 上：$$-u_x+2u_y=0$$

总结：

驻点满足的方程为：
$$u_{xx}-u_{xy}+u_{yy}=-f(x,y)$$
边界条件如上述所示。