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差分数组（Difference Array）

news 2025/9/10 13:39:16

差分数组（Difference Array）是一种用于高效处理数组区间增量操作的数据结构或技巧。它的核心思想是将原始数组的区间修改操作转换为差分数组的端点修改操作，从而将时间复杂度从 O(n) 降低到 O(1)。

差分数组 diff的定义：
- 给定一个原始数组 arr，长度为 n。
- 差分数组 diff的长度也为 n。
- diff[0] = arr[0]（第一个元素）
- 对于 i >= 1：diff[i] = arr[i] - arr[i - 1]（当前元素减去前一个元素）
```
原始数组 arr: [a0, a1, a2, a3, ..., a{n-1}]
差分数组 diff:diff[0] = a0diff[1] = a1 - a0diff[2] = a2 - a1...diff[i] = a{i} - a{i-1}...diff[n-1] = a{n-1} - a{n-2}
```
从差分数组还原原始数组：
- 差分数组 diff存储了相邻元素的差值。
- 通过对 diff数组求前缀和，可以还原出原始数组 arr：
  - arr[0] = diff[0]
  - arr[1] = diff[0] + diff[1]
  - arr[2] = diff[0] + diff[1] + diff[2]
  - ...
  - arr[i] = diff[0] + diff[1] + ... + diff[i] = arr[i-1] + diff[i]（对于 i >= 1）
```
arr[0] = diff[0]
arr[1] = diff[0] + diff[1] = arr[0] + diff[1]
arr[2] = diff[0] + diff[1] + diff[2] = arr[1] + diff[2]
...
arr[i] = arr[i-1] + diff[i]
```

差分数组最大的威力在于处理对原始数组某个区间内所有元素同时加上（或减去）一个常数 k 的操作。

原始方法： 如果要给 arr的区间 [l, r]（包含 l和 r）的每个元素都加上 k，需要遍历该区间内的所有元素（l到 r），时间复杂度为 O(n)（n 是区间长度）。
差分数组方法： 只需要修改差分数组 diff的两个元素：
1. diff[l] += k
2. if (r + 1 < n) diff[r + 1] -= k（如果 r + 1没有超出数组边界）

原理：

修改 diff[l] += k：根据还原公式 arr[i] = arr[i-1] + diff[i]，这个操作会导致从位置 l开始，之后所有位置的 arr[i]在计算时都额外加上了 k（因为 diff[l]变大了 k，这个 k会传递到 arr[l], arr[l+1], arr[l+2], ...）。
修改 diff[r + 1] -= k（如果 r + 1 < n）：这个操作是为了抵消掉区间 [r+1, n-1]上额外加上的 k。当还原到 arr[r+1]时，diff[r+1]减少了 k，使得 arr[r+1] = arr[r] + (diff[r+1] - k)。由于 arr[r]已经被加了 k（来自第一步的影响），arr[r+1]的计算变成了 (arr[r] + k) + (diff[r+1] - k) = arr[r] + diff[r+1]，正好是原始值加上 diff[r+1]，消除了 k的影响。之后的位置同理。

结果： 只有区间 [l, r]内的元素在还原时被加上了 k，区间外的元素不受影响。

初始化： 根据原始数组 arr构造差分数组 diff。
区间修改： 当需要对 arr的区间 [l, r]增加 k时：
- diff[l] += k
- if (r + 1 < n) diff[r + 1] -= k
- (时间复杂度 O(1))
查询（还原）： 当需要知道修改后的 arr[i]的值时，或者需要得到整个修改后的数组时，对差分数组 diff求前缀和得到 arr。
- (查询单个元素 O(1) - 如果维护了前缀和数组；还原整个数组 O(n))

单点或区间查询效率低： 查询单个元素或区间和需要 O(n) 时间还原前缀和（除非额外维护前缀和数组）。如果查询非常频繁，可能需要结合树状数组或线段树等更高级的数据结构。

差分数组特别适用于以下情况：

典型应用：

原始数组： arr = [1, 3, 5, 2, 4]

构造差分数组：

操作： 给区间 [1, 3]（即第2个到第4个元素，值 3, 5, 2）加 5。

修改差分数组：
- l = 1：diff[1] += 5-> diff[1] = 2 + 5 = 7
- r + 1 = 4(4 < 5)：diff[4] -= 5-> diff[4] = 2 - 5 = -3
- 新 diff = [1, 7, 2, -3, -3]

还原修改后的数组 arr'：