最大异或对问题

最大异或对问题：从暴力到Trie树的高效解法

二、异或运算的核心性质

异或（XOR，记为 $\oplus$）是一种位运算，其规则为：

• 两个二进制位相同时，结果为$0$（$0\oplus 0=0$，$1\oplus 1=0$）
• 两个二进制位不同时，结果为$1$（$0\oplus 1=1$，$1\oplus 0=1$）

关键观察：异或结果的大小由二进制高位决定。例如，若两个数的第 $k$ 位（从$0$开始计数）异或为$1$，而其他数的第 $k$ 位异或为$0$，则前者结果一定更大。因此，最大化异或值的核心是：让更高位的二进制位尽可能异或为$1$。

三、暴力解法：思路与局限

思路

枚举所有可能的数对 $(A_i,A_j)$（$i<j$），计算 $A_i\oplus A_j$ 并记录最大值。

代码示意

int maxXor = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i + 1; j < n; j++) {maxXor = max(maxXor, a[i] ^ a[j]);}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N^2)$。当 $N=10^5$ 时，运算次数约为 $10^{10}$，远超计算机每秒约 $10^8$ 次运算的能力，必然超时。
• 空间复杂度：$O(1)$。

结论：暴力解法仅适用于 $N\le 1000$ 的小规模数据，对本题不适用。

四、优化思路：Trie树的妙用

为了降低时间复杂度，我们需要一种能快速找到“与当前数异或最大的数”的方法。Trie树（字典树）正是解决这一问题的理想工具。

核心思想

1. 二进制高位优先存储：将每个数的二进制表示（从最高位到最低位）存入Trie树，利用Trie的前缀共享特性高效存储。
2. 贪心查询：对每个数 $A_i$，在Trie树中寻找能使其异或结果最大的数——即每一位尽可能选择与 $A_i$ 对应位相反的二进制位。

五、Trie树的设计与实现

1. Trie节点结构

Trie树的每个节点仅需存储两个子节点，分别对应二进制位$0$和$1$：

struct TrieNode {TrieNode* children[2]; // 0和1两个子节点TrieNode() {children[0] = children[1] = nullptr; // 初始化子节点为空}
};

2. 插入操作：将数存入Trie树

将一个数的二进制表示从最高位到最低位插入Trie树（因 $A_i<2^{31}$，最高位为第$30$位）：

• 提取第 $i$ 位的二进制值：$(num>>i)\&1$
• 若对应子节点不存在，则创建新节点
• 沿当前位对应的子节点继续深入

void insert(TrieNode* root, int num) {TrieNode* node = root;for (int i = 30; i >= 0; --i) { // 从最高位（30）到最低位（0）int bit = (num >> i) & 1;   // 提取第i位if (!node->children[bit]) {node->children[bit] = new TrieNode(); // 创建新节点}node = node->children[bit]; // 移动到子节点}
}

3. 查询操作：寻找最大异或值

对给定数 $num$，在Trie树中寻找能使其异或结果最大的数：

• 对每一位，优先选择与 $num$ 当前位相反的子节点（使该位异或为$1$）
• 若相反位的子节点不存在，则选择相同位的子节点
• 累加每一位的贡献（$1<<i$ 表示第$i$位为$1$时的数值）

int query(TrieNode* root, int num) {TrieNode* node = root;int max_xor = 0;for (int i = 30; i >= 0; --i) {int bit = (num >> i) & 1;int desired_bit = 1 - bit; // 希望找到相反的位if (node->children[desired_bit]) {max_xor |= (1 << i);    // 该位异或为1，计入结果node = node->children[desired_bit];} else {node = node->children[bit]; // 只能选择相同位}}return max_xor;
}

4. 整体流程

1. 初始化Trie树，插入第一个数
2. 对剩余每个数：
   • 查询当前Trie树中能与它形成的最大异或值
   • 更新全局最大值
   • 将该数插入Trie树（供后续数查询）

int main() {int n;cin >> n;vector<int> a(n);for (int i = 0; i < n; ++i) {cin >> a[i];}TrieNode* root = new TrieNode();insert(root, a[0]); // 插入第一个数int max_val = 0;for (int i = 1; i < n; ++i) {max_val = max(max_val, query(root, a[i])); // 查询并更新最大值insert(root, a[i]); // 插入当前数}cout << max_val << endl;return 0;
}

六、复杂度分析

• 时间复杂度：
  插入和查询每个数都需要处理$31$个二进制位（$0$~$30$），因此总时间复杂度为 $O(N\times 31)$，即 $O(N)$（$31$为常数）。对于 $N=10^5$，总操作约为 $3.1\times 10^6$，完全满足时间要求。

• 空间复杂度：
  最坏情况下，每个数的二进制位都不共享前缀，空间复杂度为 $O(N\times 31)$，即 $O(N)$，可接受。

七、样例解析

以输入 3 1 2 3 为例，详细步骤如下：

1. 二进制表示：
   $1=0b01$（简化为$2$位，实际处理$31$位）
   $2=0b10$
   $3=0b11$

2. 插入第一个数$1$：
   Trie树路径：根 → $0$（第$1$位） → $1$（第$0$位）

3. 处理第二个数$2$：

   • 查询：$2$的二进制为$10$，从高位开始：
     第$1$位是$1$ → 优先找$0$（存在），贡献 $1<<1=2$
     第$0$位是$0$ → 优先找$1$（存在），贡献 $1<<0=1$
     总异或值：$2+1=3$
   • 更新$max\_val$为$3$，插入$2$到Trie树

4. 处理第三个数$3$：

   • 查询：$3$的二进制为$11$，从高位开始：
     第$1$位是$1$ → 找$0$（存在），贡献 $2$
     第$0$位是$1$ → 找$0$（不存在，只能找$1$），无贡献
     总异或值：$2$
   • $max\_val$仍为$3$，插入$3$到Trie树

5. 最终输出：$3$

八、总结

最大异或对问题的高效解法体现了两个核心思想：

1. 二进制高位优先：利用异或运算的特性，优先保证高位为$1$以最大化结果。
2. Trie树优化：将二进制存储与查询的复杂度从 $O(N)$ 降至 $O(31)$，实现整体线性时间复杂度。

这种思路不仅适用于本题，还可推广到“最大异或子集”“异或前缀和”等类似问题，是信奥中处理二进制位运算的重要技巧。